基礎問
170 第6章 微分法と積分法
109
面積 (VI)
......(
放物線y=ar-12a+2 (0<a</1/2)
(0<a</1/2) ① を考える.
(1) 放物線 ① が αの値にかかわらず通る定点を求めよ.
(2) 放物線①と円x2+y2=16.② の交点のy座標を求めよ.
(3) a=
のとき, 放物線 ① と円 ② で囲まれる部分のうち, 放物
線の上側にある部分の面積Sを求めよ.
XL XX
(1) 定数αを含んだ方程式の表す曲線が, α の値にかかわらず通る
定点を求めるときは,式をαについて整理して, a についての恒
等式と考えます(37).
(2) 2つの曲線の交点ですから連立方程式の解を求めますが, y を消去すると
の4次方程式になるので, x座標が必要でも,まずx を消去してyの2次
方程式にして解きます.
(3) 面積を求めるとき, 境界線に円弧が含まれていると,扇形の面積を求める
ことになるので, 中心角を求めなければなりません. だから,中心〇と接点
を結んだ線を引く必要があります。もちろん, 境界線に放物線が含まれるの
定積分も必要になります.
解答
精講
(2)
(1) y=ax²-12a+2 より
a(x²-12)-(y-2)=0
これが任意のαについて成りたつので
x2-12=0
..x=±2√3, y=2
y-2=0
よって, ① がαの値にかかわらず通る定点は
(±2√3,2)
y=ax²-12a+2 ・･････ ①
{ y = ax²_
lr2+y²=16
②より,x2=16-y2 だから, ① に代入して
<a について整理
