基本例
点がF(3,0), F'(-3, 0)で点A(-4, 0) を通る楕円の方程式を求めよ。
p.585 基本事項 重要 149、
解法 1. 焦点の条件に注目。2つの焦点はx軸上にあり、かつ原点に関して対称であ
あるから求める楕円の方程式は
1 (40) とおける。
焦点や長軸短軸についての条件に注目し, a, bの方程式を解く。
解法2. 楕円上の点をP(x, y) として、 楕円の定義 [PF+PF' = (一定)」に従い, 点
の軌跡を導く方針で求める。
|解法 1. 2点F(30) F'(-3, 0) が焦点であるから, 求 1焦点は2点
める楕円の方程式は
4-2
+
92
b2
ここで
a2-b2=32
=1 (a>b>0) とおける。
A (-4, 0) は長軸の端点である
から
a=|-4|=4
y
√7
(√a²-b², 0).
(-√a²-6ª, 0)
焦点のx座標に注目。
y座標が0であるから,
楕円の頂点。
a
b
よって62=q-32=42-9=7
ゆえに、求める楕円の方程式は
F'
-3 0
3
4x
ここではの値を求め
なくても解決する。
x2y2
長軸 17
va2-62
=1
7
すなわち
+2
=1
16 7
PがAに一致するとき?
解法 2. 楕円上の任意の点をP(x, y) とすると
PF+PF'=AF+AF'=|3-(-4)|+|-3-(-4)|=8
<F, F′, A はx軸上の
よって
ゆえに
√(x-3)2+y2+√(x+3)+y2=8
<PF+PF'=8
√(x-3)2+y2=8-√(x+3)2+y2
両辺を平方して整理すると
16√(x+3)2+y2=12x+64
両辺を4で割って, 更に平方すると
整理して
16(x2+6x+9+y2)=9x2+96x+256
7x2+16y2=112
よって、求める楕円の方程式は
16
7=1
ここでがなくな
次のような楕円の方程式を求めよ。
9 (1) 2点(20)(20) 焦点とし、この2点からの距離の和が6
(2)楕円
x2y2
3 5
=1と焦点が一致し、 短軸の長さが4
(3)長軸がx軸上,短軸がy軸上にあり、2点(-2.0) (1,2)を通る。
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