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OOOO0
基本例題208 3次関数の極大値と極小値の和
aは定数とする。f(x)=x°+ax?+ax+1がx=α, B(α<B) で極値をとるとき,
f(a)+f(B)=2ならばa=コである。
基本 207
【類上智大)
指計>3次関数 f(x) がx=a, 8で極値をとるから、a. Bは2次方程式 f'(x)=0 の解である。
しかし、f(x)=0 の解を求め,それをf(α)+f(B)=2に代入すると計算が面倒になる。
このようなときは, 2次方程式の解と係数の関係系 を利用するのがセオリー。
f(a)+f(B) は a, Bの対称式になるから,次の CHART に従って処理する。
の a, Bの対称式 基本対称式α+B, aB で表される
解答
f(x)=3x°+2ax+a
(まず,f(x) が極値をもつよ
うなaの値の範囲を求めて
おく(前ページの例題 207
(2)と同様)。
f(x)はx=a, Bで極値をとるから,f(x)=0 すなわち
3x°+2ax+a==0
①は異なる2つの実数解 α, βをもつ。
よって,①の判別式をDとすると
D>0
03()
a(a-3)>0
2=-3-a=a(a-3) であるから
4
したがって
a<0, 3<a
2
2
また,Oで,解と係数の関係より α+B=-
1
a
a, aB=→。
ここでf(a)+f(B)=(α°+B°)+a(α"+8°)+a(a+B)+2
=(α+B)°-3aB(α+B)+a{(α+B)。12cB}+a(α+B)+2
3
-(-3ヴー3号の (-番ガー2号の(
a+
+2
4
2
-a+2
3
27
ゲー子が+2-2
f(a)+f(B)=2から
f(a)+f(B)=2は, 関数
f(x)の極値の和が2であ
るということ。
27
3
よって
2a°-9a°=0 すなわち α'(2aー9)=0
9
2を満たすものは
=り
2
