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基本(例題 115 常に成り立つ
(1) #xxxx
な定数kの値の範囲を求めよ。
2 X KF x x + + 3x
(2) 任意の実数xに対して, 不等式 ax²-2√3x+α+20 が成り立つような
数αの値の範囲を求めよ。
/p.187
指針 f(x) としたときの, y=f(x) のグラフと関連付けて考えるとよい。
(1) f(x)=x2+(k+3)x-kとすると,
すべての実数に対してf(x)>0が成り立つのは、
y=f(x)のグラフが常にx軸より上側 (y>0の部分)に
あるときである。
★
y=f(x) のグラフは下に凸の放物線であるから, グラフが
常にx軸より上側にあるための条件は、x軸と共有点をも
たないことである。 よって, f(x) =0の判別式をDとする
と, D<0 が条件となる。
基本事項
y=f(x)
+
(x)の値が常に正
(2)(1) と同様に解くことができるが,単に「不等式」 とあるから, α = 0 の場合(2次
D<0 は kについての不等式になるから,それを解いてんの値の範囲を求める。
不等式でない場合) と α≠0の場合に分けて考える。
a≠0の場合, αの符号によって, グラフが下に凸か上に凸かが変わるから,αにつ
いての条件も必要となる。また,不等式の左辺の値は0になってもよいから, グラ
[
CHART 不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連付けて考える
フがx軸に接する場合も条件を満たすことに注意する。
e+m01--1---(em)=
(1) f(x)=x2+(k+3)x-k とすると, y=f(x) のグラフ | f(x)のx2の係数は正で
は下に凸の放物線である。3000e-m
よって、 すべての実数xに対してf(x)>0が成り立つた
止めの条件は,y=f(x) のグラフが常にx軸より上側にあ
る,すなわち, y=f(x) のグラフがx軸と共有点をもた
「ないことである。(3)(1-3)
ゆえに、2次方程式 f(x)=0の判別式をDとすると, 求
あるから,下に凸。
指針
の方針
不等式が成り立つ条件を
y=f(x) のグラフの条件
に言い換えて考える。
止める条件は D<00>(8-) (1-) f(x)>05
D=(k+3)2-4・1・(-k)=k+10k+9D>0
[S]=(k+9)(k+1) > >>0 0> とすると誤り!
であるから, D<0 より
D<0の“く”は, グラフ
よって
(k+9)(k+1)<0
-9<k<-1
ode>>
a=0のとき,不等式は-2√3x+2≦0 となり、
例えばx=0のとき成り立たない。
十
x軸と共有点をもた
ないための条件である。
<a=0 のとき,左辺は
次式でない。
