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基本例題 90 2次関数の決定 (2)
2次関数のグラフが次の条件を満たすとき, その2次関数を求めよ。
(1) 頂点がx軸上にあって, 2点(0, 4), (-4, 36) を通る。
(2) 放物線y=2x2 を平行移動したもので, 点 (2,4)を通り, 頂点が直線
y=2x-4上にある。
指針 (1), (2) ともに「頂点」が関係するから, 頂点のx座標をとおいて,
基本形 y=a(x-p)^+α
からスタートする。
(1) 頂点がx軸上にあるから
g=0
(2) 平行移動によってx²の係数は不変。 したがって, a=2である。
また、頂点(p,q) が直線y=2x-4上にあるから
q=2p-4
解答
(1) 頂点がx軸上にあるから 求める2次関数は
y=a(x-p)²
と表される。
このグラフが2点 (0, 4), (-4,36) を通るから
ap²=4
①,
a(p+4)²=36
9ap²=a(p+4)²
9p2=(p+4) 2
① ×9 ② から
α = 0 であるから
整理して p²-p-2=0
これを解いて p=-1,2
①から p=-1のとき a=4, p=2のとき α=1
したがって y=4(x+1)², y=(x−2)²5
よって
(y=4x2+8x+4, y=x2-4x+4 でもよい
(2) 放物線y=2x2を平行移動したもので,頂点が直線
y=2x-4上にあるから, 求める 2次関数は
y=2(x-p)²+2p-4.. ①
p²-3p=0
p=0のとき, ① から
p=3のとき, ① から
(p+1)(p-2)=0
と表される。
このグラフが点 (2, 4) を通るから 2(2-p)^+2p-4=4
整理して
よって
p = 0,3
EGORIES
y=2x²-4
y=2(x-3)+2
(y=2x²-12x+20 でもよい)
■頂点の座標は(p,0)
(-4-p)² = (p+4)²
< ① × 9 から 9ap²=36
これとα(p+4)²=36から
9ap²=a(p+4)²
a=0であるからこの両辺
をαで割って
9p²=(p+4)²
右辺を展開して
9p²=p²+8p+16
整理するとp-2=0
YA
2
0
基本89
y=2x²-4
1/1
1/1
/23
-4
y=2x-4
y=2(x-3)2+2
指
