Question

ゲストッ

左の画像の問題を、右の画像の性質を利用して解くことは可能でしょうか…

重要 例題 99 2次方程式の共通解
2つの2次方程式2x2+kx+4=0, x2+x+k=0がただ1つの共通の実数解をも
つように定数kの値を定め、その共通解を求めよ。
の
SUND
指針2つの方程式に共通な解の問題であるから,一方の方程式の解を求めることができたら、
その解を他方に代入することによって、 定数の値を求めることができる。 しかし, 例題の
方程式ではうまくいかない。 このような共通解の問題では, 次の解法が一般的である。
2つの方程式の共通解をX=αとおいて,それぞれの方程式に代入すると
TH10L
2a²+ka+4=0
1₁ _a²+a+k=0
(2)
......
......
これをαkについての連立方程式とみて解く。
②から導かれるk=-²-αを①に代入(kを消去)してもよいが,3次方程式となって
数学Iの範囲では解けない。この問題では,最高次の項であるα2 の項を消去することを
考える。 なお、共通の「実数解」 という問題の条件に注意。
CHART 方程式の共通解 共通解を x = α とおく
........
......
基本94
解答
共通解を x=α とおいて, 方程式にそれぞれ代入すると
2a²+ka+4=0
①, a²+a+k=0
②
① ①② ×2 から (k-2)a+4-2k=0
350
ゆえに
(k-2)(a-2)=0
よって
k=2 または α=2
[1] k=2のとき
2つの方程式はともにx2+x+2=0となり,この方程式の判数学Iの範囲では､
別式をDとすると
[4]
D=12-4・1・2=-7
x=0の解を求める
210-x8
声が
②から
22+2+k=0
よって
k=-6
このとき2つの方程式は 2x²-6x+4=0, x²+x-6=0
すなわち 2(x-1)(x-2)=0, (x-2)(x+3)=0 となり,><
解はそれぞれ x=1,2; x=2, -3
よって、2つの方程式はただ1つの共通の実数解 x=2をも
α2 の項を消去。 この考え
連立1次方程式を加
減法で解くことに似ている。
D<0であるから, この方程式は実数解をもたない。
{ことはできない。
ゆえに,2つの方程式は共通の実数解をもたない。-+-fp=
[2] α=2のとき
4001
x=2を①に代入してもよ
い。
つ。
以上から
= -6, 共通解はx=2
注意 上の解答では, 共通解 x=αをもつと仮定してαやんの値を求めているから,
求め
た値に対して,実際に共通解をもつか, または問題の条件を満たすかどうかを確認
しなければならない。
Pai

2次方程式の解に関するいろいろな性質
※ 数学ⅡⅠで学習する内容であるが, 2次方程式の解に関連した2つの性質を取り上げてお
である。 また, 2. 2次方程式の解と因数分解の証明は, 2次関数の分解形 (p.145) の根拠
こう。 特に, 1. の 解と係数の関係は, 解から係数を決定する問題を解くときに, 有効
となっている。
1. 2次方程式の解と係数の関係
| 2次方程式 ax2+bx+c=0の2つの解をα, βとすると
a+B==
[解説] 2次方程式 ax2+bx+c=0の2つの解をα, βとすると, 解の公式により
-b-√√b²-4ac
2a
[2] 0-800
a=
37=_=b+√D
a+B=
b
a
-b+√√b²-4ac
2a
B=
であるが,αとBの違いは、分子の根号の直前の符号+-だけである。 そこで,
62-4ac=Dとおいて、2つの解の和α+β, 積αβ を計算すると,次のようになる。
-b-√D-26
b
2a
a
+
2aから
x=-
2a
-b+√D-b-√√D _(−b)²-D_b² - (b²—4ac)
aβ=
4ac
C
2a
2a
4a²
4a²
4a²
a
このように, 2次方程式の解の和と積は,その係数を用いて表すことができる。
例えば,前ページの例題 94 (1) で, 解と係数の関係を使うと、次のようになる。
[解答] 解と係数の関係から 2+(-4)=-α, 2(-4)=6
したがって
のとa=2,6=-8
2. 2次方程式の解と因数分解す
aß= C
a
2次方程式 ax2+bx+c=0の2つの解を α, βとすると
15.
ax2+bx+c=a(x-a)(x-B)
[解説] 1. の2次方程式の解と係数の関係を利用して証明される。
b
をくくり出す。
= a (x ² + ² + x + ²)
a
ax²+bx+c=ax2+
=a{x2-(a+β)x+αß}
b
=-2a=_ を代入。
a'
例えば、 12x2-16x-3の因数分解を考えるとき, 2次方程式 12x²-16x-3=0の解は
=a(x-a)(x-B)
←{}内を因数分解する。
1x-
aβ=
←上の式に α+β=-
a
2-(-8)±√(-8)^-12 (-3) 8±√100
12
A 12
注意 1,2は虚数解 (数学ⅡIで学習する) を含めて考えてこそ意味があるものなので,本書のシ
3
12x²—16x—3=12(
- 2/² ) {x-(- 1²)} = (
リーズでは, 数学Ⅰ の段階では深入りせず, 数学ⅡIで詳しく扱うことにする。
2'
すなわち x=121231-1/30 6
となる。
=(2x-3)(6x+1)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

謎

はい、右の図を使うことも可能ですが、明らかに面倒です。

ここでも結論は「k=2かa=2」である。
この後の議論は左の図と同じである。

ゲストッ

ありがとうございます！やっとスッキリしました！及びに、お手数お掛けして申し訳ありません🙇‍♀️