指針>2変数 a, bの不等式の証明問題であるが,この問題では不等式の両辺を ab(>0)
重要 例題195 2変数の不等式の証明 (1) F(a, b)>F(b, a)型OOO-
OO0
式
<aくb<2x
のとき,不等式 bsin>asinが成り立つことを証明せ。
b
0<a<b<2r
2
2
高知女子大
基本 19
演習 202
b
差を作る
(税bsin>asin
F(a, b)>F(b, a) の形
1
sin号>
11
b
-sin
2
a
2
変形
a
るから
f(a)>f(6) の形
x
よって,f(x)=-sin号
とすると,示すべき不等式は f(a)>f(b) (0<a<b
x
2
n
つまり,0<x<2πのとき f(x) が単調減少となることを示せばよい。
の」
解答
どは
0<aくb<2zのとき, 不等式の両辺をab(>0) で割って - sin>-s
b
?015
1
2ot
ここで,f(x)= sinとすると
1
x。
1
x
-sin
1 x
COS
2
2(xCOs-2sin号) (ar)ービ
f(x)= -
x COS
2x°
2
2x
gkx)=xcos-2sin号とすると
(x)=cos-sin号-cos等=ーsin)
f(x)の式
調べにくい
g(x)=
符号を調~
g(x)=xcos
2
g'(x)=cos
2
ofs
2
2
2
2
ol
g(x)<0
0<x<2π のとき, 0<く元であるから
201
x
2
よって, g(x) は0Sx\2πで単調に減少する。
また,g(0)=0 であるから, 0<x<2πにおいて
f(a)
立つ条件
g(x)<0 すなわち f'(x)<0
『よって,f(x)は0<x<2xで単調に減少する。
1
f(6)
b
1
-sin-
b
sin
2
2
ゆえに,0<a<6<2πのとき
不管式のが成り立つから,与えられた不等式は成り立つ。
よ。ねた
6-2-
