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29 整数解の組の個数 (重複組合せの利用)
OOOO0
本例題
キv+z=7 を満たす負でない整数解の組(x, y, z)は何個あるか。
ャ+v+z=6 を満たす正の整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。
1章
p.267 基本事項 3, 基本 28
CHARTOS
○と仕切り|の活用 !
(1) x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組(x, y, 2) は, 7個の○と2個の
仕切り|の順列を考え,仕切りで分けられた3つの部分の○の個数を,左から
順にx, y, 2 とすると得られる。例えば
○○○I○○ |O○ には
!O○I○○○○○ には
がそれぞれ対応する。
(2) 正の整数解であるから, x, y, zは1以上となる。そこで, x-1=X,
y-1=Y, z-1=z とおき, 0であってもよい X20, YN0, ZZ0 の整数解
の場合(1)と同じ)に帰着させる。 これは, 6個の○のうち, まず1個ずつをx。
y.2に割り振ってから、残った3個の○と2個の仕切り|を並べることと同じ
である。
lOLUTION
3
(x, y, 2)=(3, 2, 2)
(x, y, 2)= (0, 2, 5)
解答
(1) 求める整数解の組の個数は,7個の○と2個の」を1列に
並べる順列の総数と同じで
*3つの部分に分けるには,
3-1=2(個)の仕切り
が必要。
C,=C2=
9-8
=36(個)
9!
でもよい。
2!7!
2.1
別解 求める整数解の組の個数は,3種類の文字 x, y, zから
重複を許して7個個取る組合せの総数に等しいから
H=3+7-1C,=,C,=,C2=36 (個)
(2) x21, y21, z21 から
ここで,x-1=X, y-1=Y, z-1=Z とおくと
x-120, y-120, z-120
X+Y+Z=6-3=3
よって、求める正の整数解の組の個数は, 3個の○と2個の別 H.=+3=,C。
|を1列に並べる順列の総数と同じで
=C=Cz/
=10(個)
C。=&C2=
5.4
-=10(個)
