例題 32
a>0のとき、
値を求めよ.
考え方
解答
a²+5a+4
a
練習
32
-=a+5+₁
a²+5a+4
a
相加平均・相乗平均の関係 (2)
a²+5a+4 の最小値を求めよ.また
a
=a+5+-
a>0 より 相加平均・相乗平均の関係から,
at
a+1=2√a· 4 = 2√4=4
a
したがって,
4
a
a+-+5≧4+5=9
と変形する
a
4
等号が成り立つのは,a=-
a
①対称式
②2次方程式の解と係数の関係
③相加平均・相乗平均の関係
b
a'
x>-2のとき,
a+bab (和と積)」 「α+-(逆数の和)」のときは
a
a>0 より
a=2
よって, a=2 のとき, 最小値 9
注〉「a + b と ab (和と積)」 の形や「α+ (逆数の和)」 の形のときは、 例題 32 のように.
相加平均・相乗平均の関係の利用とともに、次の関係も有効になる場合がある.
a+B=- aß=
²
a
Moom
x2+4x+13
x+2
に着目
①基本対称式 a + b, ab を利用
a+b²=(a+b)²2-2ab
a ² + = = = = (a + ²)² -2
など
②2次方程式 ax²+bx+c=0 (a≠0)の2つの解をα βとすると.
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a+bz√ab より
2
30a+b≥2√ab
aの
9 以上だから 9が最
小値となり, 9のとき
等号が成り立ってい
る.
の最小値を求めよ.また, そのときのxの値を