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重要 例題 58 剰余の定理の利用 (3)
(1) f(x)=x-ax+b が (x-1)2 で割り切れるとき,定数a, 3の値を求
12
めよ。
(2) n を2以上の整数とするとき,x"-1 を (x-1)2で割ったときの余り
[ 学習院大 ]
を求めよ。
n=1 5²5² (K-1) *2*1 TO 811/464][
きらき
CHART O OLUTION
1=2 + A²
A
割り算の問題 基本公式 A=BQ+R を利用
1 次数に注目
②余りには剰余の定理
(1)
(x-1)2で割り切れるf(x)=(x-1)2Q
⇒ f(x)がx-1で割り切れ、更にその商がx-1で割り切れる。
(2) 次の恒等式を利用する。 ただし, nは自然数とし,α=1, 6°= 1 である。
√5 = (-) (²) a"-b"=(a - b)(a + a²-²b + a²-³b²+...+ab² −²+b″-¹)
4²3
Xa² p² cat Pak B
解答
(1) f(x)はx-1 で割り切れるから
よって
1-a+b=0 st』ゆえに
したがって f(x)=x³-ax+a-1-'z—'z67(2)
g(x)=x2+x+1-α とすると
=(x-1)(x²+x+1=a) ----
ƒ(1)=0
①
b=a-1…...
ゆえに a=3
両辺にx=1 を代入すると
0=a+b
よって
よって 3-a=0
これを①に代入して
b=2+²+
(S-1)-8
(2)12次式(x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余り
をax+b とすると,次の等式が成り立つ。
x-1=(x-1)2Q(x)+ax+b
b=-a
ゆえに x-1=(x-1)²Q(x)+ ax=a
1=(x-1){(x-1)Q(x)+α}
| 10 -a
x-1=(x-1)(x-1+x+・・・・・・ +x+1)。 であるから
LON
√x ²²-² + x ²²-² +² + x + 1 = x= 1) Q(x) + a
両辺にx=1 を代入すると
1+1+ ...... +1+1=a
ゆえに
b=-a=-n
| | 11-α+1
g(1)=0355, g(x) x-l
で割り切れる。
a-11
1 1 -α+1
nx-n
0
59PXを固数分解せ
(3) 6x²+x²+2x+
50 Px)=x²-4x³+10x²
割り算の基本公式
A=BQ+R
B 520 xの多項式F(x)
3-1であり、
← (x−1)²Q(x)+a(x−1)
■1=x であるから,
左辺
の項数はx からま
での個
a=n
よって
したがって 求める余りは
PRACTICE･・･･ 58 ④
h=α = -f
(1)a,bは定数で, xについての整式x+ax+6は(x+1)^2で割り切れるとする。
このとき, a b の値を求めよ。
(2) 2以上の自然数とする。 x" +ax+6が(x-1)2で割り切れるとき,
6の値を求めよ。
〔早稲田大]
定数 (
(x-1)(x-2)-
53 駄式 P(x) を
x+3である
P(2) 4
1
