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Think
例題
ルの成分と内積
(663)
C1-95
=(1,1,1), 6=(-1, 1, 2), C (2,1,3) とするとき
C1.49 空間のベクトルの大きさの調
xa+yb+clの最小値と,そのときの実数x, yの値を求めよ.
考え方 xa
解答
AC
+y+さにの成分を代入してすりの式で表す。
xa+yb+clを計算して x, y について平方完成する。
x+yb+c=x(1,1,1)+y(-1, 1, 2)+(2,-1,3)
=(x-y+2,x+y-1, x+2y+3)
xa+yb+cl2=(x-y+2)+(x+y -1)+(x+2y+3)
2y+42_
****
=3x²+(4y+8)x + 6y2+6y +14)
=3(x+2x+4)+ 14y² +2y+26
3
=3x+
2y+4\2
3
+ +
14
14
(x+2x+4) 20. (+14) 2019. xa+ 6+2 121
xa+b+c≥0.
20よりx+y+=121
まず,xの2次関数
とみて平方完成する.
この式について平
方完成する.
14 (実数)20
140
+3
xa +6 +11/14
等号が成り立つのは、x=-
9
y=-
のときである。
14
2y+4
x+-
-=0 かつ
よって、
x=.
9
7'
y=-
1
14
そのとき,最小値
11/14
14
第11章
(別解) C(2,-1,3)を通り, a, b の作る平面α を考える.
|xa+yb+c | が最小となるのは,xa+yb+c が平面α
つまり,a, それぞれと垂直になるとき,すなわち,
a.(xa+yb+c)=0 b (xa+yb+c)=0
0=0のときである.
01|a|=√√3|6|=√6, a b=2, bc=3, ca=4
a(xa+y+c)=xlal+ya・b+ca=3x+2y+4=0
6.(x+y+c)=xa6+y/62+6・c=2x+6y + 3 = 0
これを解くと,
x=-
91
1
=
14
y+
1
3
140
p=xa+yb+c
すると,P(D)は平
面α上の点である.
a、
H3
C
xa+yb+c
0
2
xx
x=
97
1
y=-
14
9-
714
+ b + c = 1
したがって、1-20-12462=
x+y+c=(x-y+2, x+y-1, x+2y+3)だから のとき,
①を代入して
0 doxton 9-
x+y+cは最小
11
33 11
11/14 D
14
よって,
=
x=-
9
7'
11/14
y=
==
練習
1 のとき、 最小値 14
(1.1.1).6(142) = 36.6) とするとき x+y+cの
01.49 最小値を与える実数xyとそのときの最小値を求めよ。
***
(九州大)
➡p.C1-101 12
