3章
ド・
習133
き上
例題
|基本例
方程式
[106 万程式 αの解
=-8+8√3iを解け。
方針は前ページの基本例題105 とまったく同様である。
解を z=r(coso+isin0) [r>0] とすると
基本 105 重要 108、
z=r(cos40+isin40)
また,-8+8√3iを極形式で表し、両者の絶対値と偏角を比較する。
CHART の乗根は 絶対値と偏角を比べる
解をzr (coso+isin0) [r>0] とすると
18+8√3i=16 (cos2/3z+isin 2/27)
両辺の絶対値と偏角を比較すると
ドモアブルの定理。
4-8+8√31
387
z=r* (cos 40+isin40)
また
ゆえに
r(cos 40+isin40)=16(cos 1/3π+isin 7/23)
2
理。
2
r4=16,
40=
2πは整数)
|+2km を忘れないように。
三式で
0であるから
r=2
また
0 = + π
k
6
2
ra (a>0) の正の解
は
よって
r="a
z=2/cos(+1) +isin (+)①
0≦<2の範囲で考えると
2
k=0, 1, 2, 3
① でk=0, 1,2,3としたときのzを, それぞれ 20, 21,
利
72, Z3 とすると
Po
に
接
=2(cos +isin)=√3+i,
つ
づ
21=
=2(cos
COS
π
6
を代入
2
I-pl
+isin/23)=-1+/3i.
2.-2(cos +isinx)--√3-1
COS TC
7
7
6
6
5
23= COS
2-2 (com/x+isinx)-1-VSi
5
3
したがって、求める解は
PP
解の図形的な意味
z=±(√3+i), ± (1-√3i)
2
25
20
2
-2
O
12x
π
6
22
23
-2
(2)
解を表す4点 20 Z1, 22, 23 は, 複素数平面上で, 原点0を中心とする半径2の円に内接
する正方形の頂点である。 また、 解 Zk において, k = 0, 1, 2, 3 以外の任意の整数kに対
140-1-1+9
