平面ベクトルの三角形の面積の式はなぜ、S=1/2√|a|²|b|²-(a･b)=1/2|a₁b₂-a₂b₁|(aとbはベクトル)となるのでしょうか? 平面ベクトルの中の、ベクトル方程式,点の存在範囲の問題です。3枚目のように考えてみましたが分かりませんでした...

279 ベクトル方程式,点の存在範囲 (1) 点A(4,3)を通り, = (13) に垂直な直線の方程式は4である。 (2) 0(0.0), A(1,3),B(21) とし, 点PがOP = SOA+tOB, s≧0. t≧0≦s+t≧2を満たしながら動くとき, 点Pの存在する範囲の面積は である。 (3) 座標平面上の定点A(2,-1)と任意の点Pに対 や

丸々全部分かりません… 数学Cの平面ベクトルの存在範囲の問題です…。 誰かわかる方教えてください🙏

⑩ 81 △OAB において、 次の式を満たす点Pの存在範囲を求めよ。 OP SOA+tOB, 0≤s≤2, 1≤t≤2

(2)なぜ、まるで囲ったような条件がでてくるのですか？

たす A G 不等式を満たす点の存在範囲 (1) 重要 例題 27 複素数zが|z|≦1を満たすとする。 w=z+2i で表される複素数について (1) 点wの存在範囲を複素数平面上に図示せよ。 (2) 2 の絶対値をr, 偏角を0とするとき, rと0の値の範囲をそれぞれ求めよ。 ただし, 0≦0<2πとする。 基本 21.23 指針 (1) w=z+2iからz=w2iとして、これを|z|≦1に代入。 下の検討も参照。 (2) w=R(cosa+isina) [R>0] として, ドモアブルの定理を利用。 →rはR,0はαで表すことができるから (1) で図示した図形をもとにして,まず R, α のとりうる値の範囲を調べる。 2h fry. Vi b b + 4 1 2 よって 解答 (1) w=z+2iから z=w-2i これを21に代入して |w-2i|≦1 ゆえに,点の全体は, 点2i を中心と する半径1の円の周および内部である。 よって,点の存在範囲は右図の斜 線部分。ただし、境界線を含む (2) WR (cosa+isina) [R>0] とする と よって, 条件から (1) の図から したがって 1≤r≤9 また,右図において OA=2, AB=1,∠ABO= w²=R²(cosa+isina)²=R²(cos 2a+isin 2a) r=R2, 0=2a |i|≤|w|≤|3i| ゆえに 1²≤R²≤3² ∠AOB= π π 6 sas 2 3 WX... ゆえに 4 ゆえに 12/2012/30 π 537 S 2 同様にして 4 よって 1/23 2013/0 -π≤2α≤ 3″ π これは 0≦0<2πを満たす。 <AOC= π 6 検討 不等式 | Z-α|≦r, z-a|≧rの表す不等式 P(z), A(α) とすると, AP= |z-αであるから ① 不等式 | z-α|≦r (r > 0) を満たす点 全体は 点Aを中心とする半径の円の周および内部 ② 不等式|z-α|≧r (r > 0) を満たす点 2 全体は 点Aを中心とする半径rの円の周および外部 である。 (1) AV 0 Xx <P(ω), A (2i) とすると, |w-will を満たす点w は,点Aからの距離が1 以下の点, という意味をも つ。 (bhs (1) の図から, wの絶対値 |w| は, w=3iのとき最大, w=i のとき最小となる。 |w|=R P(z) A(a) ||z-a|≤r O sol C (2) x O 左 B 3:6 1 P(z) 55 A(a). |z-a|zr 1章 4 複素数と図形 x 練習z-21を満たす複素数zに対し, w=z+√2iとする。 点wの存在範囲を 27 複素数平面上に図示せよ。 また の絶対値と偏角の値の範囲を求めよ。ただし、 偏角は 0≦2の範囲で考えよ。 Op.80 EX21

(3)です。1枚目が問題、2枚目が解答です。解答の点CDをとるところまではいいんですが、突然出てきたEFはなんですか？(1)(2)なら点P存在範囲は線分CDで終わっていたんですが、s+tの範囲が動くようになったことでなぜ三角形ができるのか謎です。教えてください。

な直線の ]*84 △OAB に対し, OP = SOA+tOB とする。 実数 s, t が次の条件を満たすと き.点Pの存在範囲を求めよ。 (1) stt=1/131, s≧0, t≧0 3' (3) 0≦s+t≦2,s≧0, t≧0 (2) s+t=4 (4) 0≦s≦2, 1≦t≦2

ベクトルの終点の存在範囲の問題で、2s+3t≦6, s≧0, t≧0 という条件なのですが、答えとかなり違ったので減点される所とその理由を教えてください。

BAULSED (3) 2s+3t=k とおくと 0≤k≤6 ←0≦2s+3t≦6 k=0のときは, s=t=0 であるから, 点Pは点Oに一致する。 ←OP=1 A02 0<k≦6のとき 2s = 1, ≧0. k 2s/k 3t ** OP=²5 (22₂OA) + 3² (OB) k k 25 + ³1. 2s 3t k k k AOA DA KOBOB とすると､ = 9 3 んが一定のとき点Pは線分A'B'上を 動く。 k ここで, 0≦3,02より, 2 k 3 3t - MO f 120 d k A' A B ←s+3t=k の両辺をk で割る。 27202 2s ← k くと, s'+t=1, s'≧0, t≧0で -B' 70 D C 30A = OC, 20B=OD とすると,0≦k≦6の範囲でkが変わる とき, 点Pの存在範囲は OCDの周および内部である。 ²-=s', 3t k =tとお OP=s'′OA' + OB' ←線分 A'B' は線分 CD と平行に動く。

このように問題の答えがわかって図示するときに いつも各々の値に数値代入して斜線部分を確認するのですが、このよつに複雑だとかなり時間がかかってしまいます。 どのように確認するのが良いでしょうか？？

よって -u³+u+v>0 [v>-u <-u または [v<u³_u v>u³_u したがって, 点 (u, u) の存在範囲は 右の図の斜線部分。 境界線を含まない。 √3 3 VA C 2√3 9 2√3 √3 3 練習 f(x)=-x3+3x とし, 関数y=f(x) のグラフを曲 -

224. 赤で書かれているu≠0について質問です。 これはg'(t)=6t(t-u)であり、 g'(t)=0のときt=0,u 極小値と極大値両方を持つ必要があるので u≠0ということですか？？ また、「かつ」という書き方ではなくこうでもいいですか？ （写真） 最後に、 ... 続きを読む

342 BE ひ)を通る 線Cの接線が3本存在するための u, vの満たすべき条件を求めよ。また、そ 条件を満たす点(u, v) の存在範囲を図示せよ。 演習 例題2243本の接線が引けるための条件 (2) |f(x)=x-x とし, 関数y=f(x) のグラフを曲線Cとする。点(u, 指針 前ページの演習例題223と考え方は同様である。 ① 曲線C上の点 (t, f(t)) における接線の方程式を求める。 (②21で求めた接線が, 点 (u, v) を通ることから,t の3次方程式を導く。 [③3] [②2] の3次方程式が異なる3個の実数解をもつ条件を,u, の式で表す。.... g(0)g(u) < 0 から (u+v)(-u³+u+v) <0 ②2 ②でu=0 とすると<0 となり,これを満たす実数は存在 しない。ゆえに,条件u≠0は②に含まれるから, 求める条件 は ② である。 u+v>0 ②から よって ....... -u³+u+v<0 u+v<0 \u³+u+v>0 ゆえに,点(u, v) を通るCの接線が3本存在するための条件s-# は,t の3次方程式 ① が異なる3個の実数解をもつことである。 よって,g(t)=2t3-3ut'+u+cとすると, g(t) は極値をもち, 極大値と極小値が異符号となる。 g'(t)=6t2-6ut=6t(t-u) であるから u=0 かつg(0)g(x)<0 v>-u \v<u³_u または <-u または \v>u³_u0 したがって,点(u, v) の存在範囲は 右の図の斜線部分。境界線を含まない。 解答 f'(x)=3x2-1であるから, 曲線C上の点の座標を(t, f(t)) とすると,接線の方程式は y-(t³-t)=(3t²-1)(x−t) DROLON y=(3t²-1)x-2t3 すなわち この接線が点 (u, v) を通るとすると+v=(3t2-1) u-2t3 よって 2t3-3ut2+u+v=0 ① 3次関数のグラフでは, 接点が異なれば接線も異なる前ページの検討参照 [1] 2c x≥0 にな ①を した これ [2] 2 f'(x V √√30 3 2√3 9 基本 219,演習20 DACO 2√3 √3 3 _y_f(t)=f'(t) (x-t) p.337 の例題 219 参照。 CLONEENHOU g' (t)=0 とすると t=0, u u=0のとき、 t=0,uの うち一方で極大、他方で 小となる。 v=uuのとき v=3u²-1 v=0 とすると √3 3 = u=± √3 のとき 3 u=± 2√3 9 (複号同順) 直線では線 CO 原点Oにおける接線。 ⑤ 224 曲線 Cの接線が3本存在するためのu, v 練習 f(x)=-x 3 +3x とし, 関数 y=f(x)のグラフを曲線Cとする｡ 点 (u, の条件を満たす点(u, v) の存在範囲を図 演習 ひの満たすべき条件を求めよ。 αは定 にαの また 指針▷f い)を運 解答 f(x)=x と 1 0 7 f'(x)= 求める ① [3] ①を よっ ゆよこい XM 表 これ [1]~ 練習

赤線で引いた部分 なぜAのような形を導くことができないんですか？

5 E お う 3 基本例題 点の存在範囲 (2) △OAB に対し, OP = SOA +tOB とする。 実数 s, tが次の条件を満たしながら 点Pの存在範囲を求めよ。 「動くとき, (1) 1≤s+t≤2, s≥0, t≥0 解答 (2) 1≤s≤2, 0≤t≤l 練習 39 基本例題 38 (2) 同様, s+t=kとおいてkを固定し, (1) OP=OQ+▲OR,+▲=1, ≧0,≧0分 QR) の形を導く。次に、kを動かして線分 QRの動きを見る。 (2) ⑩のような形を導くことはできない。そこで、まずを固定させて」を動かし たときの点Pの描く図形を考える。 S t k (1)s+t=k(1≦k≦2)とおくと t OP=(kOA) + (kOB) k + =1, -≧0, k 0 B B' また よって, ROA=OA', kO=OB とすると, kが一定のとき点Pは B AB に平行な線分 A'B'′ 上を動く。kOB ここで,20A = 0, 20B=OD とすると, 1≦k≦2の範囲でんが 変わるとき, 点Pの存在範囲は 台形ACDB の周および内部 (2) sを固定して, OA'=sOAと すると OP=OA' +tOB ここで, tを0≦t≦1の範囲で 変化させると, 点Pは右の図の 線分A'C' 上を動く。 ただし OC = OA' + OB 次に, sを1≦s≦2の範囲で変化させると,線分 A'C' は s=1のとき 図の線分 AC から DE まで平行に動く。 OP=OA+tOB ただしOCOA+ OB, OD = 20A, OE=OD+OB よって、点Pの存在範囲は 点Pは線分 AC 上。 s=2のとき OP=20A+tOB→ 点Pは線分 DE 上。 別解 (2) 0≦s-1≦1から s-1=s' とすると OP=(s' + 1)0A+tOB=(s'OA+tOB)+OA OA+OB=OC, 20A=OD, 20A+OB=OE とすると、平行四辺形ADEC の周および内部 4 →P A kOA k ''A' MO CC'E P tOB \SOA AA' D p.416 基本事項 基本 38 C <s+t=kの両辺をんで割る。 S 11/12=s, 1/10=tとおくと k k s'+t'=1, s'≧0, t'≧0 でOP=s'OA'+f'OB' よって 線分A'B' そこでOQ=s'OA+tOB とおくと, 0≦s'≦1,0≦t≦1から, 点Qは平行四辺形 OACBの周および内部にある。 OP=OQ+OA から,点Pの存在範囲は,平行四辺形 OACBOA だけ平行移動したものである。 線分 A'B' は AB に平行 に, AB から CD まで動 く。 <s, tを同時に変化させる と考えにくい。 一方を固 定して考える (tを先に 固定してもよい)。 (2) -1≤s≤0, 0≤2t≤1 423 △OAB に対し, OP = SOA+tOB とする。 実数 s, tが次の条件を満たしながら動 くとき、点Pの存在範囲を求めよ。 (1) 1≤s+2t≤2, s≥0, t≥0 (3) -1<s+t<2 p.430 EX 27 1 ⑤ ベクトル方程式

⑵で、水色の線で囲んだ部分がOPベクトルの範囲になる時s、tの値はいくつになりますか？例を知りたいです。

「△OAB に対して, 点Pが次の条件を満たしながら動くとき, 点Pの 存在範囲を図示せよ。 (1) OP=SOA+tOB, 0≤s≤2, 1≤t≤2 (2) OP=SOA+tOB, 2≤s+t≤3 1 (1) s とは互いに無関係に変化することから,まず, sを固定してt を動かす。 (2) s+t=1 ならば,Pは直線AB上にある。 そこで, s+t=kとすると2つ S k k -=1,2≦k≦3 である。まず,kを固定して s, tを動かす。 OP=OA' + tOB 解答 (1) sを固定して, OA'= sOA とすると tが1≦t≦2の範囲で変化すると,Pは図の線分P'Q' 上を動く。ただし, OP=OA'+OB, OQ'=OA'+20B で ある。次に,sが 0≦s≦2の範囲で変化すると,線分 P'Q' は図の線分BD から EF まで動く。ただし,OC=20A, OD=2OB, OE=OČ+OB, OF=OC+OD である。 よって、点Pの存在範囲は平行四辺形 BEFD の周および 内部である。 答図の斜線部分。 ただし, 境界線を含む。 2≦k≦3 (2) s+t=k(定数)とおくと ・キー S t OP=— (kOÃ)+7 (kOB), 1/12/1/6=1 + k k k kOA=OA', kOBOB' とすると,Pは直線 A'B'上を動く。ここで,OC=20A, OD=30A, OE=2OB, OF=30B とする。 kが2≦k≦3の範囲で変化すると, A'はCからD まで, B'はEからFまで動き, A'B'//CE, A'B' // DF である。 答図の斜線部分。 ただし, 境界線を含む。 D 0 → B B 防固定 平面上のベクトル D #hek

写真の問題は、f(a)×f(0)をやる前に極値を持つことを増減表、もしくはf’(t)のDが0より大きいことを用いて示す必要ってないんですか？？

例題225 3本の接線が引けるための条件(2) 点P(a,b) から曲線 y=x2x に異なる3本の接線が引けるとき,点 P(α, b) の存在範囲を図示せよ. 考え方 曲線上の点(t, -2t) における接線の方程式に(a,b) を代入した3次方程式が,異 なる3つの実数解をもつための条件をα bに関する不等式で表す. |解答 y=x-2x より,y'=3x2-2 SA したがって, 曲線上の点(t, -2t) における接線の方程 式は、 y-(t³-2t)=(3t² − 2)(x −t) つまり, y=(3t2-2)x-2t3 この直線が点(a,b) を通るので, b=(3t²-2) a 2t³ ANAL り 2t3-3at2+2a+b=0 - b=0...... tの方程式①が異なる3つの実数解をもつような(a,b) ←話を変換する の条件を求める. f(t)=2t3-3at2+2a+6 とおくと, STARS f'(t)=6t2-6at=6t(t-a) INSC f'(t)=0 とすると, t=0, a したがって, ① が異なる3つの実数解をもつのは, y=f(t) のグラフがt軸と異なる3点で交わるときより, a≠0かつf(0)・f(a)<0 336E2 f(0) f(a)=(2a+b)(-a²+2a+b) <0より, |2a+b<0 [2a+b>0 1-a³+2a+b<0 [b>-2a つまり, b<a³-2a よって、求める領域は, 450 64 右の図の斜線部分で, 界線は含まない. または または Wa 業式 -a³+2a+b>0 [b<-2a b>a³-2a ba b=a³-2al Nau はグラフで考えよ √2 a b=-2a a>0 のとき ƒ(0)>0 A a a f(a)<0 a < 0 のとき f(a)>0 ! XC x f(0)<0 f(a) と f(0) が異符 号 2015 a=0のとき, f(0) f(a) ={f(0)}20 より, α = 0 は f(0) f(a)<0に含ま れている. 原点で接する.