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数列の和と期待値・分散
重要 例題 55
Nを自然数とする。 大きさが同じ (N+1) 個の球に, 0 からNまでの異なっ
た数字をそれぞれ1つずつ書き, 袋に入れておく。 その中から2球同時に
り出し、そこに書かれた数字の差を確率変数X とする試行を考える。このと
き 次のものを求めよ。
(1) kを1≦k≦N なる自然数とするとき, X = k となる確率 P (X = k)
(3) N=4 のとき, Xの分散 V (X)
(2) Xの平均E(X)
CHART & SOLUTION
k, k, k の公式(第1章数列参照) を利用する。
計算の際, N はkに無関係であるから, ZNk=Nk などと変形する。
(1)X=kとなるのは, 2球に書かれた数の組が (0, k),
(1,k+1), ……, (N-k,N) の場合である。
よって
(2) Xがとりうる値は X=1, 2, 3, .....,
N
E(X)=Σ{kP(X=k)}=Σ-
P(X=k)=N-k+1_2(N-k+1)
N+1 C2
よって
-
k=1
N
- Z Ž
_N+2
=
3
k=1
P RACTICE 55
y 2{(N+1)k-k2}
N (N+1)
=
N
Σk²
2
N(N+1) k
2
2
17/11/N(N+1) - NON+1) 11
-N
2
6
11
●
26
=15-10=5
N (N+1)
k=1
(3) N=4のとき P(X=k)=1/12-10k,E(X)=2
4
ゆえに
E(X²¹) = {k²P(X = k)} = (¹/k². 1
-k2. -k3
10
k=1
k=1
N であるから
･4・5・9-
|_N(N+1)(2N+1)
10 (12/3・4・5) 2
V(X)=E(X2)-{E(X)}=5-22=1
AS
球の取り出し方は全部
で+1C2 通り。
んに関係しない式を
の外に出す。
n
k= n(n+1)
k=1
Ex
44
A
n
Σk²³= = n(n+1/2+1)
k=1
k=1
+2²=fain+
