放物線y=x2-2x+1 と直線y=mx について,次の問いに
答えよ.
(1) 上の放物線と直線が異なる2点 P, Qで交わるためのmの範
囲を求めよ.
(2) 線分PQの中点の座標をm で表せ.
(3) m が (1)で求めた範囲を動くとき, 点Mの軌跡を求めよ.
(1) 放物線と直線の位置関係は,連立させてyを消去した 2次方程
式の判別式を考えます。
異なる2点とかいてあるので, 判別式≧0 ではありません.
(2) (1) 2次方程式の2解がPとQのx座標ですが, m を含んだ式になるの
で2解をα, βとおいて, 解と係数の関係を利用した方が計算がラクです.
(3) (1)において, m に範囲がついている点に注意します。
(45III)
精講
解答
y=x²-2x+1.①, y=mx ...... ②
(1) ①② より,yを消去して,
(m+2)x+1=0.
③は異なる2つの実数解をもつので、この式の解が
判別式をDとすると, D>0
POにあたる。
よってD=(m+2)^4>0
m²+4m>0
:. m(m+4)>0
m<-4, 0<m
(2) ③の2解をα, β とすれば,
P(α, ma), Q(B, mβ) とおける.
このとき, M(x,y) とすれば,
x=a+B
...
2 , y=
ここで, 解と係数の関係より
α+β=m+2 だから
α+β_m+2
2
'm+2 m²+2m
2
参考
m(a+b).
2
-=mx-4
I=
m+2
2
(3) ⑤ より m=2x-2
④ に代入して, y=x(2x-2)
ここで,(1)より, mx-4.0m だから、
lx-2<-4,0<lx-22
y
0
......3le)
y=mx
y=x2-2x+1
P
M
a 1
→元々の式ではm
Q
Bx
すなわち、 x<-1, 1<x
以上のことより, 求める軌跡は放物線の一部で,
y=2x2-2x(x<-1,1<x)
いつでもェに範囲がつくわけではありません.
たとえば, 与えられた放物線がy=x2-2x-1 であったら、
判別式= (m+2)2+4>0 となり, m に範囲はつきません.
すなわち, 軌跡のxにも範囲がつかないということです.
