9 ある菓子が5個入りの箱と8個入りの箱で売られている。この2種類の箱を購入して,ちょ
うど90個の菓子を用意したい。 5個入りの箱と8個入りの箱の個数の組み合わせをすべて求
めよ。 ただし, 1種類の箱のみで購入してもよいものとする。
5個入りの箱の個数をx個, 8個入りの箱の個数を個とすると,
5x + 8y = 90
不定方程式 ① の整数解の1組は, x = 18, y=0であるから,
.....@
5 18+80=90
① ② より
5(x-18) +8y = 0
すなわち
5(x-18)=8y
ここで5と8は互いに素であるから, x-18は8の倍数である。
よって, nを整数として
x-18=8n
すなわち
これを③に代入して変形すると
y=-5n
ここで, x≧0かつy ≧0であるから, ④, ⑤ より
-2.25 mnmo
nは整数であるから
n=0,-1, -2
x = 8n+18
したがって,
fx = 18 fx = 10Jx=2
(y=0,ly=5, y=10
ゆえに, 5個入りの箱と8個入りの箱の組み合わせは18箱と箱, 10箱5箱, 2箱と10箱