重要 例題 112 放物線の弦の中点の軌跡
| 放物線C:y=x2と直線l:y=m(x-1) は異なる2点A, B で交わっている
(1) 定数mの値の範囲を求めよ。
(2) m の値が変化するとき, 線分ABの中点の軌跡を求めよ。
指針▷>(1) 放物線と直線の方程式からyを消去したxの2次方程式(これを①とする)の判別
式をDとすると
放物線と直線が異なる2点で交わる⇒ D>0
(2) 線分ABの中点の座標を(x,y) として,次の方針で進める。
① xとyをつなぎの文字で表す。
を消去して x, yだけの式を求める。
このとき, (1) よりに制限がつくから軌跡は曲線の一部になる。
解答
(1)y=x2とy=m(x-1) から
x2=m(x-1)
整理すると
x2-mx+m=0
①
C と lは異なる2点で交わっているから, ① の判別式Dに
ついて
D>0
D=(-m)²-4m=m(m-4) であるから
よって
m<0,4<m
(2) 2点A,Bのx座標は, 2次方程
式 ① の異なる2つの実数解 α, βで
ある。 線分ABの中点をP(x, y)
とすると, 解と係数の関係から
a+B
m
2
2
また, Pは直線l上の点であるから
x=
[参考 ③ は
y=
②から
m=2x
③に代入して整理すると
y=2x2-2x
また, (1) の結果と②′から 2x<0, 4 <2x
したがって
求める軌跡は
としてもよい。
2'
2
l
y=m(x-1) = m(m-1) = 1/2 m² -m... 3
=m
=
2次方程式 ① で解と係数の関係を使う。
m(m-4)>0
A
2
YA
4
P(x,y)
B
x<0,2<x
放物線y=2x2-2xのx<0, 2<xの部分
m² -2m
a²+B2_(a+B)²-2aß
2
[ 北海学園大 ]
基本108
2
(直線y=m(x-1) は, m の
値にかかわらず, 点 (10)
を通る。
1① を解いて2点A,Bのx
座標を求めることもできる
が、 解と係数の関係を利用
する方がずっとらく。
つなぎの文字を消去。
なお,②' y=m(x-1)
に代入してもよい。
A, B は放物線C上の点で
あることから。
