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重要 例題87 2変数関数の最大·最小 (2)
O000
重要 例題
(1) x, yの関数P3x°+3y°+4x-6y+2 の最小値を求めよ。
(1) 関数 y=
(2) x, yの関数Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 の最小値を求めよ。
(2) -1Sxミ
値を求め、
なお,(1),(2) では, 最小値をとるときのx, yの値も示せ。
(1) 類豊橋技科大,(2) 類 摂南大)
指針> (1)特に条件が示されていないから,x, yは互いに関係なく値をとる変数である。
I x, yのうちの一方の文字(ここではyとする)を定数と考えて、Pをま封。
指針>4次関数
に帰着で
このようなときは,次のように考えるとよい。
(2) 繰と
がt
2次式とみる。そして,Pを基本形 a(x-p)°+qに変形。
2 残ったq(yの2次式) も,基本形 6(yーr)+s に変形。
3 P=aX'+bYy"+s (a>0, b>0, sは定数)の形。
→PはX=Y=0のとき最小値sをとる。
(2) xy の項があるが,方針は(1)と同じ。Q=a{x-(by+c)}"+d(y-r)+s の形に刻
00
CHART
解答
(1) x=tと
yをtの式
CHART 条件式のない2変数関数 一方の文字を定数とみて処理
ソ=t-
t20の範囲
最小となる
解答
(1) P=x°+4x+3y?-6y+2
=(x+2)?-2°+3y?-6y+2
てe=(x+2)°+3(y-1)?-3-1-2
=(x+2)°+3(y-1)-5
x, yは実数であるから
よって, Pはx+2=0, y-1=0 のとき最小となる。
まず,x について基
よって
(2) x-2x-
t=(x
S4次に, yについて基料
P=aX?+bY?+sの形
(x+2)°20,(y-1)。N0
| (実数)20
-1SxS1
x+2=0, y-1=0を
x=-2, y=l
yをtの
ソ=t
①の範囲
ゆえに
x=-2, y=1のとき最小値 -5
と
(2) Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6
=x-2(y-2)x+2y?-2y+6
={x-(y-2)}-(y-2)°+2y°-2y+6
=(x-y+2)°+y°+2y+2
=(x-y+2)°+(y+1)?-1?+2
8-
t=-2
0S8+ x+●x+■の形に。
t=2 で
まず,xについて基
t=-2の
ゆえに
イ次に,yについて基
よって
X, yは実数であるから
よって,Qはx-y+2=0, y+1=0のとき最小となる。
xーy+2=0, y+1=0 を解くと
t=2 のと
(x-y+2)20,(y+1)°z0 (実数)20
ゆえに
よって
x=-3, y=-1
x=-3, y=-1のとき最小値18大 い
最小値をとるぁpo
の解
ゆえに
-1Sx=
以上から
連立方程式
0 ()(8 0)=(x
練習
X, yの関数 P=2x"+y?-4x+10y-2 の最小値を求めよ。
練習
87(2) x, yの関数Q=x"-6xu+10
88
なか
