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重要 例題 43 隣接 3 項間の漸化式 (3)
| がり方の総数を an とする。 このとき, 数列{an} の一般項を求めよ。
この
指針 数列 {a} についての漸化式を作り、そこから一般項を求める方針で行く。
1歩で上がれるのは1段または2段であるから,n≧3のとき!
九段にする
の2つの方法がある。 このように考えて,まず隣接3項間の漸化式を導く。
作 を考えると [1] 2段手前 [(n-2) 段] から2歩上がりで到達する方法
[2] 1段手前[(n-1) 段] から1歩上がりで到達する方法
→漸化式から一般項を求める要領は, p.476 基本例題41と同様であるが、
特性方程式の解α, βが無理数を含む複雑な式となってしまう。計算をらく
ためには,文字 α βのままできるだけ進めて、最後に値に直すとよい。
α=1, a2=2である。
解答のとき,段の階段を上がる方法には,次の [1], [2] の
場合がある。
-
[1] 最後が1段上がりのとき, 場合の数は (n-1) 段目まで
の上がり方の総数と等しく an-1
[2] 最後が2段上がりのとき, 場合の数は (n-2) 段目まで
の上がり方の総数と等しく an-2
=2
フィオ
いて、
あ ある
新た
ま
ろ
月末
とな
漸ｲ
こ
{a
か
①
[1]
最後に1段上がる
[2] 最後に2段上がる
n FX
九段
a
(n-1)段
ここまで an-1 通り
(n-1) 段
| (n-2) 段
ここまで2通り
よって
an=an-1+an-2 (n≧3)
(*)
和の法則(数学
この漸化式は,n+2=an+1+an (n≧1)... ①と同値である。(*)でカード
x=x+1の2つの解をα, β (α<β) とすると, 解と係数の
関係から
①から
α+β=1, aβ=-1 2-(1-x)=(-
an+2-(a+β)an+1+aban = 0
よって
an+2-dan+1=β(an+1-aan), az-aa=2-a
an+2-βan+1=α(an+1-Ban), az-Ba=2-β
②から
③から
an+1-aan=(2-α)B-1
an+1- -βan=(2-β)an-1
◆特性方程式
x2-x-1=00
x=
1±√5
......
a=1, al
◄ar"-1
④
こ
......
⑤
α+1 を消去
④ ⑤ から (B-α)an=(2-α)β"-1-(2-β)α7-1
1-√√5
a=
2
B=1+1/5
2
であるから
B-a=√5
また,α+β=1, a2=α+1, B2=β+1であるから
2-α=2-(1-B)=B+1=2
2-B=a²
同様にして
よって、⑥から
an=
1
1+√5 \n+1
1-√√5
2
雪 次の条件によって定め
3
α,βを値に直す
12-a, 2-8
は、α,Bの値を
代入してもよい
ここでは計算を
ている。
