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基本例題112 群数列の応用
1/2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2/4.
5'
1'2'2 3'3'34'4 4'
初項から第210項までの和を求めよ。
指針 分母が変わるところで区切りを入れて、 群数列として考える。
分母 : 12,23, 3, 34, 4,4,45,
1個 2個
3個
4個
第 n群には,分母がnの分数がn個あることがわかる。
分子: 12,34, 5, 67,8,9,10 | 11,
#nyc 04 (1) (2)
分子は,初項1, 公差1の等差数列である。 すなわち,もとの数列の項数と分子は等
しい。
まず, 第210 項は第何群の何番目の数であるかを調べる。
^^= (S. (1-5) + (I+M)
解答
分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。
2 34 5 678
9 10 | 11
9
.
2 23'3'34'
'4'4'45'
第1群から第n群までの項数は
1+2+3+...+n=n(n+1) (2-1) #
第210項が第n群に含まれるとすると
M
すると、
1
(n-1)n<210≧mn(n+1)
-1) + = =+S+L
[類 東北学院大 ]
よって
(n-1)n<420≦n(n+1).
①
(n-1) n は単調に増加し, 19・20=380, 20・21=420 であるから,
① を満たす自然数nは
kein
n=20
また,第 210 項は分母が 20 である分数のうちで最後の数であ
る。ここで,第n群に含まれるすべての数の和は
ゆえに、求める和は
20k2+1
2
k=1
2
1 20
の分数の数列について、
1/n(2. { 1 + n(n-1) + 1} + (n − 1). 1 (=n=n² + 1 20
2
\k=1
......
=1445
108=S (I-)+(I+SI-SI)
20
k2+
²+221)= 1/2 (20-21.41 +20)
6
基本111
もとの数列の第k項は分
子がんである。 また,第k
群は分母がんで個数
を含む。
これから第n群の最後の
数の分子は 1/21n(n+1)
10 Jed
06-17-59), 11(4) T
458 195
1/23・20・21=210 100
(1)
は第群の数の分子
の和→ 等差数列の和
n{2a+(n-1)d}
