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重要 例題 62 位置ベクトルと内積,なす角
00000
1辺の長さがαの正四面体 ABCD において, AB=b, AC=c, AD = d とする。
|辺AB, CD の中点をそれぞれ M, N とし, 線分 MN の中点を G, ∠AGB=0 と
する。
(1) AN, AG, BGをそれぞれも,こで表せ。
(2) 「GA,GA・GBをそれぞれa を用いて表せ。
(3) cose の値を求めよ。
[類 熊本大〕
例
基本例
(1) 四面
をt:
KLN
(2) 座
一直
基本 53
指針
(1) 中点の位置ベクトルの利用。
(3) GA-GB=|GA||GB|cos0
①
(2)|GA|=|AG|=AG・AG, GA・GB=AG・BG (1) の結果を利用して計算。
ここで,ABN は ANBN の二等辺三
角形であることに注目すると |GA|=|GB|
よって、 ① は GA・GB=|GA|cos0 となるから,(2)の結果が利用できる。
指針
(1) AN = 1½ (c+d)
解答
AG = 1/1/2
=1/12(AM+AN)=1/21/12/6+/12/2(+2)}
=
1
BG=AG-AB=1(-36+c+d)
(2) 16|GA|=|4AG²=(b+c+d)·(b+c+d)
=161²+|cl²+làl²+2(b•c+c•à±à·b)
=3a²+2×3acos60°=6a²
解答
SI
M
I
16GA GB=4AG.4BĠ=(b+c+d)·(−3b+c+d)
よって
=−3||²+|cl²+là-26-c-26 d+2c d
==
=-a²-2a² cos 60°=-2a²
|GA|=-
| GA |² = ³ ³² a²,
=³½³ a², GA.GB=- a²
8
(3)AM=BM, AN =BN であるから
B'
C
|||=||=||=aから
b.c=c·d=d.b
SI
=a² cos 60°
分数の計算を避けるため、
4AG=b+c+d,
4BG=-36+c+d
として計算。
A
8
√3
AB⊥MN
GA・GB=|GA||GB|cos0= |GA | cose
||AN|=|BN|= -a
IGA・GB=
ゆえに, |GA|=|GB | であるから
8
(2)から4/21acoso
3
1
=
ゆえに cos0=
3
8
8
(
3
==
+8+8
SI
IGAP=202を代入
