対数についての質問です。⑵においてm,nを正の整数と限定しているのは何故ですか？正の整数でなければ、左辺は偶数右辺は奇数にならないのですか？よろしくお願いします。

Think 914 例題171 無理数となる対数 2 対数と対数関数 339 **** log23の値を 2'=8, 3'=9,3243,2256 を利用して, 小数第 1位まで求めよ. () 10g103 が無理数であることを証明せよ. 103 の値を求めるので,対数をとるときは 底を2にするとよい . 考え方 (1) 与えられた条件を使って不等式を作る. (津田塾大改) <対数の定義> logaM=r⇔ α'=M (2)背理法を使って証明する. 有理数、無理数の定義は忘れないようにしよう。 (1)39 より 底2で両辺の対数をとると, log232=log29 を 解答 2 したがって 210g23=10g29より, 10g23= 2 したがって, 510g23=10g2243 より また,3243 より,底2で両辺の対数をとると, log235=log2243 log29 log28 log223 3log22 22 -=1.5 98 より, log23= log2243 log2256_810g22 5 5 -=1.6 5 以上より, log29>10g28 (底) >1であるから 対数を消せるように 2Dを利用する. 243 256 より, log2243<log256 1.5<logz3 <1.6 も同様 よって, 10g23の小数第1位までの値は, 1.5 m (2)10g 103 が有理数であると仮定すると, 10g103>0 だか ら,互いに素な正の整数m, n を用いて, 1.5 1.6 log23=1.5... 10が1より大き log 103= m n く、真数3が1より m とおける. 対数の定義より, 10 = 3 大きいので, log103 0 両辺を乗すると, 10m=3" ここでmnは正の整数だから, 左辺10" は偶数, 右 10 は2と53" は 辺3" は奇数となり 3しか素因数をもた の よって, 10g103 は無理数である. ない (偶数 奇数 Focus 無理数の証明 有理数と仮定して背理法 m 有理数は (m, n は互いに素) とおく n 第 5 章 練習 171 (2) 10g37 は有理数でないことを証明せよ。 (1)10g102 の値を2°512,21024 を利用して, 小数第1位まで求めよ。 (慶應義塾大) →p.34817 *** また

数学3についてです 解説を見てもよくわかりません この問題を見てどう考えたらこの解説のような解法を思いつくのでしょうか わかる方おねがいします

基本 例題 90 平均値の定理を利用した不等式の証明 平均値の定理を用いて,次のことを証明せよ。 e² 1/2 <a<b<1のときa-b<blogb-aloga<b-a ・基本 89 重要 91 平均値の定理の式は 指針 f(b)-f(a) b-a -=f'(c) (a<c<b) ① 一方, 証明すべき不等式の各辺を6-α (>0) で割ると blogb-aloga -1- <1 b-a ① ② を比較すると, f(x)=xlogx (a≦x≦b)において, -1<f(c) <1 を示せばよい ことがわかる。このように,差f(b)-f(a)を含む不等式の証明には,平均値の 定理を活用するとよい。 ★ CHART 差f (b)-f(α) を含む不等式 平均値の定理も有効 関数f(x)=xlog x は, x>0で微分可能で x>0で微分可能である 解答 f'(x) =logx+1 から,x>0で連続。 よって, 区間[α, b] において,平均値の定理を用いると blogb-aloga b-a 指針 ★の方針。 =logc+1, a<c<b を満たすc が存在する。 ・<a<b<1とa<c <bから 1/1/2 <<1 e2 各辺の自然対数をとって log <logc<log 1 e2 1 すなわち −2<logc<0 log この不等式の各辺に1を加えて f(b)-f(a) を含む不 等式については,平均値 の定理を意識しよう。 なお, 2変数の不等式の 扱いについて, p.200 で まとめている。 11/2=loge^2=-2. log1=0 −1<logc+1<1 blogb-alog@<1 よって -1< b-a この不等式の各辺に bα (0) を掛けて a-b<blogb-aloga<b-a <a<bであるから ba>0

(3)を教えてください。

8 (§4) xyの不等式 loga y log (3-x)+ loga (1+x) を考える。 ①の真数条件を考えると d (色) D =6+030 アイ<x< ウ y> エ である。 ds + p (1)0 <a<1 とする。xy 平面上で, ① を満たす x, y が表す領域の概形は 斜線部分である。ただし、境界を除く。 オ この ﾆ醴問のこ オ については,最も適当なものを、次の①~③のうちから一つ選べ。 ① YA 真: 「スセ =D F ② O C 031.30= XC 8=ds+D (i) + (ii) YA C =d せ Ix (8) x (2)0 <a<1 とする。 x, y が y=x+1 を満たすとき, ①を満たすxの値の範囲は カキ <x< ク である。 <-12-

【数学】指数・対数の問題です。 途中まで解いたのですが、そのあとが分からないので教えていただきたいです🙇‍♂️

69 方程式log2(x+1)-loga(x+4)=1を解け。

赤で囲んだところの式変形のやり方を教えてください🙇‍♀️

(1) log√√3 = log 23 log23 = 2log23 degol log2√2 loga√2 log22 0= =log23² = log29 2=log22²=log24 真数の大小を調べると 4<6<9 log Jotj

常用対数 （ィ）が分かりません( ˘•ω•˘ ).｡oஇ どっからその数出てきたの?って感じです。 それも踏まえて回答いただけるとありがたいです😭よろしくお願いします🙇🏻‍♀️⸒⸒

6 基本 例 191 最高位の数と一の位の数 0000 12® は桁の整数である。 また, その最高位の数は で,一の はである。 ただし, 10g102=0.3010, log103= 0.4771 とする。 指針 (ア)(イ) 正の数Nの桁数は logie N の整数部分, 最高位の数は10gio N の小数部分に注目。 なぜなら, Nの桁数をkとし, 最高位の数をα (αは整数, 1≦a≦9) とすると Na+1) ・10400... 0 0 がん1個) からα99.9 (9がk-1個)まで logio (a10-1)log10N <10g10(a+1)・10^-1} 各辺の常用対数をとる。 k-1+logioalogoN <k-1+log10(a+1) login (4・10=logioa+logait よって, logio N の整数部分をp, 小数部分をg とすると logioag <logio (a+1) p=k-1, 1 () 121, 122, 123, ・を計算してみて,一の位の数の規則性を見つける。 (ア) 10g 10 126=601ogio (223)=60(210g102+10g103) =60(2×0.3010+0.4771)=64.746 10g1012=6010g 12 12=22.3 解答 ゆえに 64<log10 1260<65 よって 10641260 1065 (イ)(ア)から したがって, 1260 は 65 桁の整数である。 log1012=64+0.746 ここで 10g105=1-10g102 =1-0.3010=0.6990 10g106=10g102+10g10 3 =0.3010+0.4771=0.7781 ゆえに すなわち よって 10g105 < 0.746 <10g106 5<100.7466 5・10641064.7466・1064 すなわち 5.106412606.1064 したがって, 126 の最高位の数は 5 (イ)の別解(ア)から 1260=104.746=10 10° <10.745 < 10'であるか ら, 1074 の整数部分が 126 の最高位の数である。 ここで, 10g105=0.6990 から 100.69905 |10g 10 6 0.7781 から 100.7781-6 100.6990100.74610 から 51007466 (ウ) 12', 122 123 124 125, よって、最高位の数は の一の位の数は,順に 2, 4, 8, 6, 2, 60=4×15 であるから, 126 の一の位の数は となり, 4つの数 2, 4, 8, 6 を順に繰り返す。 122 (mod10) である から12" の一の位の 6 は、2” の一の位の数と同 じ。 ③ 191 然数で,nの値はn=である。また, 8” の一の位の数はウで最高位 練習 自然数nが不等式 38 ≦10g10 8” <39 を満たすとする。 このとき,8"は桁の る。 数はである。 ただし, 10g102=0.3010, 10g103=0.4771, logio7=0.8451と (関西学院 p.312 EX

常用対数 （2）が分かりません( ˘•ω•˘ ).｡oஇ そもそも何進数っていう言葉の意味や考え方からあんまり理解できてないのでそこについても説明していただけるとありがたいです😭 ご回答よろしくお願いします🙇🏻‍♀️⸒⸒

304 基本 例 189 常用対数と不等式 logo3 0.4771 とする。 (1)3が10桁の数となる最小の自然数nの値を求めよ。 00000 (類福岡工 (2) 3進法で表すと100桁の自然数Nを, 10進法で表すと何桁の数になるか 指針 (1)まず,3" が10桁の数であるということを不等式で表す。 (2) 進数Nの桁数の問題 不等式数 N <数の形に表す ・・・・・・チャート式基礎からの数学A 基本例題 150参照。 に従って、問題の条件を不等式で表すと 3100 1 N <3100 ......① 10進法で表したときの桁数を求めるには, 不等式① から, 10″N < 10" の形を導 きたい。そこで,不等式① の各辺の常用対数をとる。 各辺の常用対数をとると (1)3" が 10桁の数であるとき 10°31010 解答 9≤n log103<10 ゆえに 9≦0.4771n<10 9 10 よって ≤n<⋅ 0.4771 0.4771 したがって 18.8n<20.9...... この不等式を満たす最小の自然数nは n=19 Nがn桁の整数 →10-1≤N<10° 基本 A 町 比べ 合. ただ 解 B (2)Nは3進法で表すと100桁の自然数であるから 3100-1100 すなわち 399 N < 3100 各辺の常用対数をとると 9910g10 3 log10N <10010g103 99×0.4771 ≦log10N <100×0.4771 47.2329 ゆえに すなわち log10N <47.71 よって 1047.2329 N1047.71 ゆえに 1047 <N<1048 この不等式を満たす自 数は, n=19, 20である が,「最小の」という条 があるので, n=19 したがって, Nを10進法で表すと, 48桁の数となる。 別解 10g103=0.4771 から 100.4771=3 ゆえに, 3% N <3400 から (1004771) ≤N < ( 100.4771) 100 1047.2329 N1047.71 よって ゆえに 1047 <N<1048 したがって, Nを10進法で表すと, 48桁の数となる。 <p=logaM⇔d=" 練習 log102=0.3010, log103=0.4771 とする。 189 (1) 小数で表すとき, 小数第3位に初めて0でない数字が現れるような自 然数nは何個あるか。 〔類 北里大) (2) logs 2 の値を求めよ。 ただし, 小数第3位を四捨五入せよ。 またこの結果を 利用して, 4' を9進法で表すと何桁の数になるか求めよ。

対数方程式 （2）の①が不等式かつ不等式でない理由は何故ですか😭 また、かつはどの条件の時に書けばいいのですか? 教えてくださいm(_ _)m

2 基本 例題 182 対数方程式の解法 (1) 次の方程式を解け。 (1) logsx+10g(x-2)=1 (3) 10g2(x+2)=1oga(5x+16) 0000 (2)10g2(x²+5x+2)-10gz(2x+3)=2 (3)期限)。 P.289 指針 対数に変数を含む方程式 (対数方程式) を解く一般的な手順は、次の通り。 と (底に文字があれば) 底>0, 底≠1 の条件を確認する。 [2] 異なる底があればそろえる。 [3] 対数の性質を使って変形し, logaA=log&B の形を導く。 4 真数についての方程式 A=Bを解く。 54で得られた解のうち,①の条件を満たすものを求める解とする。 (1)真数は正であるから,x>0かつx-2>0より x>2 方程式から logs.x (x-2)=10g33 対 件 解答 したがって x(x-2)=3 ゆえに (x+1)(x-3)=0 よって x=-1,3 整理してx²-2x-3=0 2次方程式に帰着。 x2であるから, 解は x=3 (2) 真数は正であるから x2+5x+2>0, 2x+3> 0 ··· ① 真数条件を満たすもの。 方程式から log2(x²+5x+2)=logz4+10gz(2x+3) よって log2(x²+5x+2)=log24(2x+3) したがって x²+5x+2=4(2x+3) 整理して x2-3x-10=0 ゆえに (x+2)(x-5)=0 よって x=-2,5 このうち, ①を満たすものが解であるから x=5 (3) 真数は正であるから, x+2 0 かつ 5x + 16 > 0 より x>-2 log2(5x+16) 1 2 -log2(5x+16) である log2(x+2)=110g2(5x+16) (2) 真数>0から、立 等式①が導かれる。 ここで,①を満たす。 の値の範囲を求めてもよ いが,式変形することに より導かれるxの値の うち, ①を満たすものを 求める解とした方がらく x=2のとき 2x + 3 < となり,①を満たさな loga (5x+16)= log24 から, 方程式は よって ゆえに (x+2)=5x+16 よって (x+3)(x-4)=0 x-2であるから,解は 整理してx2-x-12=0 ゆえに x=-3,4 x=4 log2(x+2)=10gz(5x+16) x=5のとき x²+5x+2>0,2x+3 となり, ①を満たす 底をそろえる。 x+2>0であるから 210g2(x+2) =log2(x+2)2 次の方程式を解け。 ■2 (1) 10gs (x-2)+10g(2x-7)=2 (3)10ga(x+2)+10g/x=0 (2)10g2(x²-x-18)-10gz(x-1)=8 [(2) F

青線引いた部分についてです！ここでなぜ絶対値をとる必要があるんですか？回答よろしくお願いします！

一末問題 にして, bc となり、 ab bc b-a -loga + a c-b 21, √ab+√bc +√ca=1 ca blogs√be ac c-b log c -log+a-c syab+√bc+vcaD ここで、a++√c=1 の両辺を2乗すると, a+b+c+2,/ab+2、bc +2√ca =1 vca > 0 ) (x 第4 .d <rg^(x)=f(x)-1≦1-1<0 0-7(x) ca a log C であるから,g(x)は単調減少な関数である。 ここで,g(0),g(1) を考えると |g(0)=f(0)-0 1 1+e=20 == 1 |g(1)=f(1)-1= 1-(a+b+c) 15. J 1+e e+1-1=<0 したがって,g(x)=0 は 0<x<1にただ1つの解を e e+1 もつ。 2 八 また、√a++√c=1のとき、(2)より,0x よって、f(x)=xはただ1つの実数解をもつ (3)(2)において yA y=x/ loga f(x)=x を満たす a+b+c...... laga Co 01 1=x+p+00 ただ1つの解をβと おくと, 0<β<1で あり y=f(x) 2)(am, f(an)) f(x)は 0 1- f(B)=BD an an+1 8 1 x 3 1 ②.③より√ab+√bc+√cas 2 a+b+czy, よって、 ① より, b-a a c-b ab logb+ be log+c logs bc C ca +p+ (1-(a+b+c) ≤1-1 33 b a-c 4 関数f(x)=- について、次の問いに答えよ.hpps-fe また、条件より f(am)=an+1 ......② ①②の辺々の差の絶対値をとると f(am)-f(B)1=lan+183 ここで, an≠β のとき, f(x) に平均値の定理を用い ると, したがっf(am)-f(β) -=f'(c) ••••••④ うになる an-β (021) を満たすc が a と β の間に存在する. ④を変形して, Tx+ 1 1+e (1) 導関数f'(x) の最大値を求めよ. (2) 方程式 f(x)=x はただ1つの実数解をもつことを示せ.)+(-6) (3) 漸化式 an+1=f(a.) (n=1, 2, 3, ...) で与えられる数列{an} は,初項 α の値によら ず収束し, その極限値は(2)の方程式の解になることを示せ. (1) f'(x)=1+e^*) (1+e_x)1+2+e_25 1 1 *+2+* e*+. ++2 e₁ (23) \f(am)-f(β)\=lf'(c)lla-Bl ③を用いると, an+1-Bl=\f'(c)lla-β.......⑤ つまり, ⑤を満たすcが, am とβの間に存在する. (1)より.0<f(x)=1であるので、 >20) 商の微分 分母、分子にe を掛ける。 ①lam+1-Bl=\f'(c)|lam-B グラフ ya a-B ......⑥ よって、グラフ が成り立つ 2 ここで0.12.20 であるから,相加平均・相乗平 均の関係より, 等号成立は,e= 1 e+ +2≥4 また,am=βのときも, ⑥は成り立つ. ⑥をくり返し用いると, したがって f'(x)=- 1 ex+- ex+2 よって、f'(x)の最大値は,1/1 (2)g(x)=f(x)-xとおくと, すなわち, x=0 のとき 両辺ともに正より逆数をと an+1 0<-x) る. したがって, 201 do an-1- a- 0.0<00< -1 lim (1) la.-B1=0 であるから,⑦とはさみ であり, lim うちの原理より,

（2）についてです。g（x）=0が0<x<1以外に解をもつ場合はないのですか？回答よろしくお願いします！

ま問題 にして, ca be log√bc log√ca 12>04 (x) a-c .d& g'(x)=f'(x)-1≤1-1<0 第4! 微分 a 0=\)\ となり、 bc c-b ab log + be log + a log ca a-c a+b+c+2√ab+2、bc+2√ca =1 ここで、√a+6+√c=1 の両辺を2乗すると, (√a+√√b+√c)²=12 syabtv/bc+√ca ...... ① であるから,g(x)は単調減少な関数である。 ここでg(0),g(1) を考えると, *go g(0)=f(0)-0=1+e=20 g(1)=f(1)-1=1 1+e ab+c+√ca=1-(a+b+c)....② もつ。 したがって,g(x)=0は0<x<1にただ1つの解を == e+1 e+1 中間 2 また、√a++√c=1のとき,(2)より,0x (3)(2)において よって、f(x)=xはただ1つの実数解をもつ。 g'(x) ある. Toge f(x)=x を満たす y=x/ 190-18- a+b+c ......3 loga <0 f(x)は logi 01 1=x+p+q s ただ1つの解をβと おくと, 0<β<1で あり、 x)(am,f(an)) y=f(x) 0 1- f(B)=β① an ab b b-a a C ca a b a-c log 4 1 関数f(x)= について,次の問いに答えよ. 1+e c-b ② ③より, ab+√bc+√/ca2 3 よって ①より bc -log- + -log 3 1 a+b+cz . *22 an+1 8 1 x 1-(a+b+c) ≤1-1/2-1/2 また、条件より f(a)=an+1 ② ①②の辺々の差の絶対値をとると 3 f(a)-f(B)1=la,+1βL③) ここで,_amキβ のとき, f(x) に平均値の定理を用い ると, an-B f(an)-f(B)=f'(c) ....... 次のよ (021) (1) 導関数f'(x) の最大値を求めよ. (2)方程式 f(x)=xはただ1つの実数解をもつことを示せ.p)+(play (3) 漸化式 an+1=f(a.) (n=1, 2, 3, ...) で与えられる数列{a} は,初項 α, の値によら ず収束し、その極限値は(2)の方程式の解になることを示せ. (1) f'(x)=- (1te_^*) e (1+e) 1+2e+e 2x 1 1 *+2+e__** +++2 ここで0.10 であるから,相加平均・相乗平 を満たすc が と β の間に存在する. ④を変形して, \f(am)-f(β)\=lf'(c)lla-B ③を用いると, |an+1-Bl=\f'(c)lla-B....... ⑤ つまり、⑤を満たすc が, am とβの間に存在する. (1)より、f'(x)=1であるので, 微分 分母,分子にe を掛ける lam+1-B1=\f'(c)lla-Bl 737 ya laß よって 立つ 均の関係より, e+ +22√2 e+2/+224 したがって, f'(x)=- 1 1 e++2 e* よって、f'(x) の最大値は, (2)g(x)=f(x)-xとおくと, 等号成立は,e=1 すなわち、x=0 のとき 両辺ともに正より逆数をと る. 19480 201 また,am=βのときも ⑥は成り立つ. ⑥をくり返し用いると したがって, のと 0<lan-Bal d であり, lim うちの原理より, Ka a (C -1 と 2a-β=0であるから、⑦とはさみ