指数方程式の問題です。 序盤も序盤ですが、 なぜこのふたつの問題で 2^X＝t とおいているのは同じなのに tの範囲が異なるのでしょうか(t＞0、t＞1) よろしくお願いします🙇🏻‍♀️

D 187 指数方程式の解の個数[1) 開 ★★★☆ 方程式 4-2x+2 +k = 0 の異なる実数解の個数を調べよ。 の値の範囲 4'-2+2+k=0 の 2" =t とおく 異なる実数解の個数 r-4t+k = 0 の おける異なる実数解の個数 に 対応を考えるとの対応を考える 右の図から1つのtの値に対して,xは1つ対応 例題 188 指数方程式の解の個数[2] についての方程式 4+ (a+1)2 +1 + α+70 が異なる2つの正解を もつような定数の値の範囲を求めよ。 ReAction 文字を置き換えたときは, その文字のとり得る値の範囲を考えよ IA例題76 思考プロセス t=2 [1対1 4+ (a+1)2+1+α+7 = 0 が 異なる2つの正の解をもつ 対応を考える t=2 とおく t2+2(a+1)t + α+7 = 0 が どのような解をもつか? 1つのtの値に1つのxの値が対応 例題187 との違い... f(t)=aの形にすると,式が複雑になることに注意。 + (a+1)2 +1 +α+70…① とおく 182 2x = t とおくと, x>0よりt > 1 であり, ① は ･･･ ② +2(a+1) +α+7=0 底を2にそろえ, 2^= t とおく。 ... t=2* 4 章 x «WAction_f(x) =k の実数解は,y=f(x)とy=kのグラフの共有点を調べよ IA例題 118 与式を変形すると -(2F)2 +4.2 = k ... ① 4'= (2°)*= (2*)2 2x+2 = 2.22 = 42 指数関数 182 2 = t とおくと, t> 0 であり, ① は -12+4t = k .. 2 ここで, t = 2* を満たすx は, t> 0 であるtの値1つに 対して1つ存在する。 よって, 方程式 ① の異なる実数解の個数は, tの方程式 ② の10における実数解の個数と一致する。 ここで,f(t) + 4t とおくと f(t)-(2-2)'+4 方程式 f(t)kの1>0を満たす実 数は,y=f(t) (10)のグラフと 直線ykの共有点の座標である。 y4 y4 Myf(t) のグラフが軸とt>1の範 囲で2点で交わるのは、次の [1]~[3] を満たすときである。 y=f(t) 20個 ・1個 したがって、右のグラフより。 求める実数解の個数は k> 4 のとき 個 k [[1] f(t) = 0 の判別式をDとすると D 2個 10 2 4t 1個 IA ここでt=2を満たすxは,t>1であるの値1つに 対して x>0であるxの値1つが存在する。 よって、の方程式 ① が異なる2つの正の解をもつのは、 tの2次方程式 ②が1より大きい異なる2つの解をもつ ときである。 f(t) =P+2(a+1) +α+7 とおくと、 y y=f(t)| 2/4 = (a+1)-(a+7)= a +a-6 a+α - 6>0より (a+3)(a-2)>0 a .0 noiDAO 2次方程式の解と係数の 関係 α+β=-2(a+1) aβ=a+7 を利用して 判別式 D > 0 (α-1)+(B-1)>0 (a-1)(8-1)>0 からの値の範囲を求め てもよい。 ②を -(a+1), 01 D> 0 V

線引いてる部分がよく分かりません。グラフで簡単に示してくれると嬉しいです。

80 88 ✓ 練習 □ 179 2次関数 y=x2+6x+2m-1 のグラ フがx軸と異なる2点で交わるとき, 定 数の値の範囲を求めよ。 D=36:-4(2m-1) =36.8m+4 =40.8m>c -8m>40 mc5 ✓ 180 2次関数 y=x+3x+m-1のグラフ がx軸と共有点をもたないとき, 定数m の値の範囲を求めよ。 D-9-4 (n-1) 9-4(m-1 2 = 9.-9m+4 (5 ( .4m 「

数学　アからコまで教えてください。

66 導関数と接線 タイムリミット10分) f(x)=x+ax2+bx+c, g(x)=-x2+x+1 とする。 座標平面上の2つの曲線 y=f(x), y=g(x)は点 (1,1)において共通な接線 l をもつという。 (1) このとき, アと イが同時に成り立つ。 ア イ の解答群 (同じものを繰り返し選んではいけないものとする。 また, 解答の順序は問わない。) ⑩ f(1)=g(1) ① f(1)=g'(1) ② f'(1)=g(1) ③f'(1)=g'(1) (2) (1)により,b= ウエ α-オ, c=a+カが成り立つ。 さらに, 直線 l と曲線 6=ウエ y=f(x)が点 (1,1) 以外に共有点をもたないとき,α=キク,b=ケ,c=コ である。 > p.1083

画像右のぐるぐるっとしているところの、理由や原理みたいなものを教えて欲しいです🙇🏻‍♀️この文ではよく理解できませんでした

①) 3次関数のグラフにおいて, 接線の本数は接点の個数 に等しいから,点 (20) を通る曲線Cの接線の本数 u=h(a) は,a についての方程式 h (α)=0の異なる実数解の個数と一致する。 u=h(a) のグラフはα軸と異なる3つの共有点をもつから, 3次方程式 h(α) =0 は異なる3つの実数解をもつ。 したがって,点(20) を通る曲線Cの接線の本数は 3本 (3) a>0 のとき, 0以上のすべての実数xに対して不等式 f(x)≧g(x) が 成り立つことを証明するためには,関数F (x) をF(x)=f(x)-g(x) と 定めて,x≧0においてつねに F(x)≧0 が成り立つことを示せばよい。 F(x)=f(x)-g(x)=(x-3x)-{3(α2-1)x-2a*} =x-3ax+2a=(x+2a)(x-a) (9) F'(x)=3x²-3a²=3(x²-α²)=3(x+a)(x-a) (②) a>0 であるから, x≧0 における F(x)の増減表は次のようになる。 a (50) 【直線 y=g(x)は曲線 y=f(x) 上の点 (a, f (a)) における接線で あるから,f(x)-g(x) は (x-α)2で割り切れる。 x 0 F'(x) + F(x) 2a³ 0 7

この問題の(2)の矢印を引いている部分のくくり方が分かりません。どのようにしたらこのくくり方が思いつくのですか？分からないのでどなたか教えてください🙇🏻‍♀️

tは OSt≦1 を満たす実数とする。放物線y=x,直線z=1,およびェ軸とで囲まれた 図形を A, 放物線y=4(-t) と直線y=1とで囲まれた図形をBとする。 AとBの共 通部分の面積を S(t) とする。 (1) S(t) を求めよ。 □(2)0≦t ≦ 1 における S(t) の最大値を求めよ。 ('13 東北大 文系)

(3)の問題ってy=0にして共有点出すやり方じゃダメなのですか。 教えてください

*** 25 xの2次関数 f(x)=-x2+2ax-8 について p.126 (1) 放物線y=f(x) の頂点の座標をαを用いて表せ. -(2) 放物線 y=f(x)の頂点が放物線y=2x²+x-10 上の点であると き、定数αの値を求めよ. (3) 放物線y=f(x) がx軸から切りとる線分の長さが2であるとき, 定数 αの値を求めよ. ( 石巻専修大 )

数2微積の問題です。(1)は解けたのですが(2)が分からないので教えてください。答えは6x＋256/27です

f(x)=x3-2x2+2x +8 とする。 曲線C:y=f(x) 上の点P (2,f (2)) における接線を l とする。 (1) 接線 ℓ と曲線Cの共有点のうち点Pと異なる点の座標を求めよ。 (2)lに平行で,曲線Cのℓとは異なる接線の方程式を求めよ。 (-2.12) 6x+ 256 27

式を代入したら、代入法から、代入元の式が残ると思うのですが、引く場合は同値性はどうなるのですか？

例題 共有点の座標 次の2つの円の共有点の座標を求めよ。 思考プロセス ★★☆☆ (1) x2 + y2 = 10 ... ①, x2+y'+2x-2y60... ② (2)x2+y2 =1... ①, x2+y2-6x-8y+9=0 ② ≪ReAction 2つのグラフの共有点は, 2式を連立したときの実数解とせよIA 例題 96 円 f(x, y) = 0 と g(x, y) = 0 の共有点の座標 f(x, y) = 0 ◆ 連立方程式・ の実数解 lg(x, y) = 0 次数を下げる ① ② ともに x, yの2次式であり, 1文字消去しにくい。 ② ① を考えると, x2,y2 の項が消える。 解 (1) ② ① より 2x-2y-6= -10 すなわち y = x +2 ・③ これを 1 に代入すると x2+(x + 2) = 10 (000)x2+2x-3=0 (x+3)(x-1) = 0 VA (1,3) よってH x = -3,1 ③に代入すると /10 x=-3 のとき y = -1 -10 x x=1のとき y = 3 ① よって, 共有点の座標は (-3, -1), (1, 3) (-3,-1)... as 81 ③は、2つの共有点を通 ある直線の方程式である。 例題 108 参照。 ①に代入すると, x=-3のとき, y2=1 より y = ±1 となり, 不 適切なの値が得られて しまう。 2円は異なる2点で交わ る。

(2)の接線①、②ってなぜ一致するんですか？

92 例題 219 共通接線 D ★★★☆ (1)2つの曲線 y=xt共通接線の方の共有において共通の 接線をもつとき,定数の値と共通な接線の方程式を求めよ。 (2)2つの放物線y=2P-3,y=x+2x+4 の共通接線の方程式を導 めよ。 未知のものを文字でおく おく (1)y=f(x)とy=g(x) が 共有点において共通の接線 y 座標が等しい (共有点(接点)の x座標を ... f(t) = g(t) [ 接線の傾きが等しい…..' (t) =g' (t) よって、共通接線の方程式は y-54=27(x-3) すなわち (ア)(イ)より y=27x-27 a=-5 のとき 共通接線 y=3x-3 a = 27 のとき 共通接線 = 27x-27 (3)(x-3) (2) 放物線y=2x-3上の接点をP(s, 253) とおくと、それぞれの曲線上の接点 y=4xより、点P における接線の方程式は y-(2s2-3)=4s(x-s) すなわち y=4sx-2s2-3 ① 放物線y=x+2x+4 上の接点を QL, f+2+4)と おくと, y = 2x+2 より 点Qにおける接線の方程式 とおく。 3-f(x) = f(x)x-3) を用いる。 において Action» 共有点における共通接線は,(1)=g(t) (1) (f)とせよ (2) (1) との違い... 接点が共有点とは限らない。 ly=g(x)上の接点のx座標を とおく … 接線 y=( Action” 共通接線は、 2直線の傾きと”切片が一致することを用いよ だけでは表すことができない は y_(12+2t+4)=(2t+2)(x-t )x+( ) 一致 すなわち y=(2t+2)x-P+4... ② □ (1) f(x)=x+a, g(x) = 3x'+x とおくと f(x)=3x, g'(x)=6x+9 共通接線をもつ共有点のx座標をとおくと f(t)=g(t) より t+a=3t² +91 …① S'(t)=g' (t) より 34² = 61+9 ... 2 ② より 3-6-9=0 共有点のy座標は等しい。 共有点における接線の傾 きは等しい。 よってs = -1, 3 これらを ① に代入すると, 求める共通接線の方程式は y=-4x-5,y=12x-21 y=3x²+9x (別解〕 (4行目まで同じ) ①より -1+a=-6 接線 ①,②が一致することから J4s2t+2 1-2s-3= -4 ... ④ ③より t=2s-1 ④ に代入して整理すると Faded 2(s+1)(s-3)= 0 2直線が一致 ③ きと切片が一致 5 去する y=x'+2x+40/ 14 51 関数の応用 (t+1)(t-3)=0 より t=-1,3 (7) t=1のとき ゆえに a=-5 このとき (-1)=g(-1)=-6 S'(-1)=(-1)=3 よって、共通接線の方程式は y-(-6)=3(x-(-1)) すなわち y=3x-3 (イ)=3のとき ①より ゆえに このとき 27+a= 54 a=27 (3)-g(3)-54 (3)=(3)27 ① と y = x + 2x+4 を連立すると 4sx-2s2-3=x'+2x+4 x2-2(2s-1)x+2s' +7 = 0 ⑤ すなわち y=x²+a 1-6 接点の座標は(-1, -6) 接線の傾きは3 直線 ① 放物線y=x'+2x+4が接するから、⑤の 判別式をDとすると D=0 D y=3x'+x4y (-1)=(-1)(一 54 a 3 y=x+a 接点の座標は(364) 接線の傾きは27 4 =(-(2s-1)-1-(2s³+7)=2(s+1)(s-3) 2(s+1) (s-3)=0より s=-1,3 これらを①に代入すると、求める共通接線の方程式は y=-4x-5,y=12x21 放物線y=23-3 上の 2)における接 ①が放物線 +2x+4に接する ようなの値を求める。 ①とy=x'+2x+4を 連立してyを消去すると 2次方程式となるから判 別式で考えることができ る。 219 (1) 2つの曲線 y=xtx,y=-x+2x+α が,その共有点において共通 の接線をもつとき、定数aの値と共通な接線の方程式を求めよ。 接線の方程式を求めよ。

1枚目の画像の問題の(3)なのですが、2枚目の解説でf(π)が出てくる理由がわかりません。教えてください🙇🏻‍♀️

第3回 (35分/52点) オ については、最も適当なものを、次の③~⑤のうちから一つ選べ。 第1問(配点15) 正の実数とし、(x)=2cesar,g(x)=√ sinx-cosxについて考える。 (1) ⑤ のうち、正しいものは ア である。 5.次の①~ を大きくしたときの,y=f(x)のグラフについての記述として、 And ア の解答群 y=f(x)のグラフはx軸方向に拡大する。 y=f(x) のグラフはx軸方向に縮小する。 ② y=f(x)のグラフは、y軸方向に拡大する。 y=f(x) のグラフは.y軸方向に縮小する。 ④ y=f(x)のグラフは、x軸の正の方向に、平行移動する。 ⑤ y=f(x) のグラフは、x軸の負の方向に平行移動する。 (2)とする。 W A A 1. gor 0 (0x における,y=f(x)とy=g(x)のグラフの共有点の個数が0個にな 「るのは ケ キ a ク コ -200:ax=Jsinx-cosx 三角関数の合成を用いると, g(x)= イン sin x とされる。 のときである。 26 また, 方程式 g(x)=1 の解はx= であり,y=g(x)のグラフが実線で キ については,最も適当なものを、次の①~③のうちから一つずつ 13 選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。 かかれているものはオである。 ただし, 点線の曲線は,=1のときの y=f(x)のグラフである。 25in (3-7)=1. sin(x-7)= ル © < 数学 数学B 数学C第1問は次ページに続く。)