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基本例題 125 2通りの部分和 S2n-1, S2 の利用
1/12/+/-1/3+1/11/+1/
無限級数 1
① について
(1) 級数 ① の初項から第n項までの部分和を S” とするとき, S2n-1, San をそれ
IO
ぞれ求めよ。
(2) 級数 ① の収束,発散を調べ,収束すればその和を求めよ。
解答
指針▷ (1) S2-1 が求めやすい。 S2 は S2n=S2-1+ (第2n項) として求める。
(2) 前ページの基本例題124と異なり,ここでは( )がついていないことに注意。
このようなタイプのものでは, Snを1通りに表すことが困難で,(1) のように,
S2n-1, S2 の場合に分けて調べる。
THAHO
そして,次のことを利用する。
MAC
(1) S2n-1=1-
=1-
S2n=S2n-1-
(2) (1) から
練習
$125
[1] limS2-1 = lim S2 = S ならば limS=S
72400
n→∞
[2] lim S2n-1⇒lim S2n 5 (2
n→∞
1
1 1
‚ - 1 - 1 2 + 1 - - 1 3 + 1 ² 3 - 1 + 1 -—-—-átás ké
2
n n
-1-(1/2-1/21)-(1/3-1/31) (12/12/2)=1
----
1
n+1
limSn=1
(2) 2
1
=1-
n+1
lim S2n-1=1, lim Son=lim(1)-1
n100
72-00
72-00
4
よって
したがって, 無限級数 ① は収束して, その和は1
検討 無限級数の扱いに関する注意点
上の例題の無限級数の第n項を
1
1
n+1
818
1
+
+
(1)
2
3
2
+
n→∞
4
3
+
2
3
{S} は発散
次の無限級数の収束 発散を調べ, 収束すればその和を求めよ。 Assn
1
1
+
+
·+......
32
+
と考えてはいけない。 ( )が付いている場合は, n
n
番目の( )を第n項としてよいが,( )が付いていない場合は, n番目の数が第n項となる。
注意 無限級数では、勝手に( )でくくったり、項の順序を変えてはならない!
[例えば, S=1-1+1-1+1-1+ ····=(1-1)+(1-1)+(1-1) + ..... とみて, S=0 などと]
【したら大間違い! (Sは公比 -1 の無限等比級数のため,発散する。)
ただし、有限個の和については,このような制限はない。
33
4 min+1
3
n
する
(1) - 1
+
基本124
n+1
n
部分和 (有限個の和)なら)
( )でくくってよい。
211
4.5+ 1
[参考] 無限級数が収束すれば,
その級数を、順序を変えずに
任意に( )でくくった無限級
数は,もとの級数と同じ和に
収束することが知られている。
n+2+
n+1
4章
15
無限級数
ast
(S)
Op.217 EX94
