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124 メジⅠⅡIABC 受
f'(x) =3x2-8x+5
=(x-1)3x-5)
5
f'(x)=0とすると x=1,
3
f(x) の増減表は次のようになる。
[2] β <αのとき
s=$(S(x)-g(x)dx
-Sax-ax-x-8-a
本間は, a=1,α=2, β=0の場合である。
296 (1) f'(x)=4x3+3ax2+2bx
=x(4x2+3ax+26)
点 (1,f(1)) における接線の方程式は
(1+a+b)=(4+3a+2b)(x-1)
よって y=(3a+26+4)x-2a-b-3.e
2,f(-2) におけるCの接線の方程式
はー(16-8a+46)=(-32+12a-4b)(x+2)
よって y=(12a-46-32)x+16a-46-48
これと①が一致するから
5
x
... 1
・・・
3
f'(x)
+ 0 - 0
+
50
f(x)
21
27
L
ゆえに, f(x) は x=1で極値をとり、条件を満
たす。
したがって a=-4,b=5
2) 曲線C:y=f(x) と直線l: y=mxが原点以
外で接するとき, 方程式 f(x) =mx がx= 0 以
外の重解をもつ。
3a +26+4=12a-46-32,
f(x) =mx から x-4x2+5x=mx
すなわち x(x2-4x+5-m)=0
-2a-b-3=16a-4b-48
すなわち 3a-26-12=0,6a-b-150
これを解くと a=2,b=-3
よって, 2次方程式x2-4x+5-m=0がx=0
以外の重解をもつ。 判別式をDとすると
(1)(2)から, 接線l
y1
2=(-2)2-(5-m)=m-1
=0であるから
m=1
■のときの重解は
たがって, 求める の値は
x=2 (x≠0 を満たす)
m=1
のときの接点の座標は
の方程式はy=4x4
また, C とℓはx=1
とx=-2で接するか
ら, グラフCと直線ℓ
の位置関係は右の図の
08
ようになる。
-2 O
(2,2)
よって, 求める面積は
2),(2)より, 求め
y
面積は,右の図の
S_2(x * +2x3_3x2-(4x-4)dx
201
1²+9=-
①に代入すると
すなわち
=
3
②
²+1=1
13
a=----
✓3
ゆえに、②から
また、t0 であるから
したがって, 点Tの座標は
t=.
√3
2
12
2
2
CとPはともにy軸に関して対
CとPの接点のうち、
でない方をUとす
ると
1
U
U
(-)
与えられた連立不等式
を表す領域は右の図の
斜線部分であるから,
求める面積は
--
ー (扇
es
-51-(x-3)
部分の面積で
f(x)-x}dx
x3-4x2+4x)dx
3
[+] 2
0
2
x
=(1/+1/2-1-2+4)
12
曲線y=f(x) (x3の係数がα> 0) と直
(x) が点 (α, f(α)) で接し, それと異な
f(β)) で交わるとき, 曲線y=f(x) と
g(x) で囲まれた部分の面積Sは
のとき
-S1g(x)/(x)dx
-Sa(x-a)x-8)dx=(-a)
1364
=
81
10
-(-32+8+8-8-8)=30
297 (1) 接点をTとし, そのx座標を とすると,
点TはP上にあるから T(t, t2+9)
点TはC上にもあるから
t2+(t2+g)2=1
・①
また,y=x2+g から y'=2x
TAS
よって, 点TにおけるPの接線の傾きは 2t
2t0 とすると t>0
直線OT の傾きは2+2で,直線OT は点 T
におけるPの接線と直交するから
√3
=
2
+
= 3√3-14
298 曲線Cの方程式につ
*≧0とき
y=x2-3x+1
=
32 5
x0 のとき
y=-x²-3x+1
12+9.2
・2t=-1
t
よって、曲線
