マーカーのn²-1はどのようにわかりますか？

とと,エルミート性のかわりに, 対称性 (A, B)p = (B, A)F が成り立つことです。 実ベクトル空間の内積が複素ベクトル空間の内積と違う点は,実数値をとるこ が直接わかるわけではありません. ここでは量子トモグラフィー, つまり量子状 そのためには, いくつかの種類の測定をしなければなりません. どのような測 多数回測定によってわかるのは, あるオブザーパブルの平均値だけなので, 状態 状 態を決定することを考えます。 定を行えば量子状態を決定できるでしょうか。 ■ 4.1 密度作用素の空間 n次元複素ユークリッド·ベクトル空間H上の密度作用素全体のなす集合Dens の構造をもう少し考えてみます. 密度作用素はエルミート作用素なので, エルミー ト作用素全体のなす集合 Herm に目を向けてみましょう. Herm は実ベクトル空間です. 次元はn次のエルミート行列のパラメータの数を 数えればよくて,対角線にn個の実パラメータ,それ以外のところにn(n-1)/2個 の複素パラメータがあるので, n° 次元になります.さらに、実ベクトル空間 Herm に内積を定義しておきます。 (定義)エルミート作用素の内積 A, B をエルミート作用素とするとき, 内積( , )= : Herm × Herm → Kで (A, B)F = Tr(AB) と定義する。 また,第1スロット, 第2スロットの両方に関して実線形です。 ミ

青線のように、水分子の数が"2n−1"個になる理由を 教えてほしいです。

さらに重合が進んで硬化し,いかなる溶媒にも不溶 となる。また,加熱により網目構造がより複雑に発 達するので、再び加熱しても熱運動によって分子間 の結合が弱くなって軟化することはない。このよう な合成樹脂を熱硬化性樹脂といい,このほかにメラ ミン樹脂,アルキド樹脂などがある。 HO H+N-(CH)。-N-C-(CH)。-Ct.OH + (2n-1)H.O 上式よりポリマー1分子中のアミド結合の数は、 縮合反応によって脱離した水分子の数(2n-1)(個) と等しい。 2n-1=2×2.94×10°-1=5.87×10°(個) (注意)ナイロン610 の分子量は,末端の-Hと-OH を考慮すると,282n+18 であるが,高分子化合物 でnが十分に大きいときは,282n+18=282n とし て計算しても結果は変わらない。同様に,アミド結 合の数も本当は2n-1(個)であるが,nが十分に大 きいときは,2n-1=2nとして計算してもよい。 (3)題意より,ナイロン6の1分子につきカルボキ シ基は1個存在するから,その分子量を M'とする 参考 メタクリル酸メチルはメチルアクリル酸のメチ ルエステルのことで、ポリメタクリル酸メチル (メタクリル樹脂)は、透明度が高く有機ガラス に利用される。 H CH。 H CH。 -C-C H COOCH: 付加重合 H COOCH。 フェノール樹脂 フェノールのベンゼン環(o- 位やp-位)がホルムアルデヒドに付加してメチ ロール基(-CH.OH)を生じる。これがさらに別 のフェノールと脱水縮合して生じた三次元網目 構造の熱硬化性樹脂である。 アルキド樹脂 多価アルコールと多価カルボン 酸との縮合重合で得られるポリエステル樹脂の ことである。グリセリンと無水フタル酸からつ くられるグリプタル樹脂はその代表で,自動車 用の塗料などに用いられる。 ゴム 二重結合を2個含む単量体の付加重合体 であり,そのくり返し単位にも二重結合を1個 ずつ含むのが特徴である。合成ゴムには,2種 類以上の単量体を共重合させて得られるものも ある。 と, 100 =0.0030 . M'=3.3×10 M' ナイロン6の分子量は113n+18と表せるので、 113n+18=3.3×10° (4) e-カプロラクタム(ラクタムとは環状アミド結 合をもつ物質の総称)に少量の水を加えて加熱する と,開環重合が起こりナイロン6が生成する。融解 したナイロンを細孔から押し出して紡糸するとき, 張力を与えることによって,ナイロンの分子鎖はア ミド結合の部分が向かい合い,できるだけ多くの水 素結合ができるように配列し,強い丈夫な繊維とな : n=2.9×10° >317(ア)ポリアミド (イ)ヘキサメチレンジ アミン (ウ)縮合重合 (エ) e-カプロラクタム る。 (オ)開環重合 (5) 芳香族ポリアミドからなる繊維をアラミド繊維 といい,高強度,高耐熱性の性質をもつ。とくに テレフタル酸ジクロリドと,p-フェニレンジアミ ンの縮合重合でっくられるポリーp-フェニレンテレ フタルアミドをパラ型のアラミド繊維(ケブラー®) H +N-(CH)-N-C-(CHa)s-Ct, HO 0 HN-(CH)s という。 (2) 8.3×10', 5.9×10°個 (3) 2.9×10° (4)向かい合った分子のアミド結合の間に水素結合 が形成されるから。 (5) アラミド繊維 n CIOC- - COCI + n HN- -NH。 foc- CONH- + 2n HCI 参考 ケブラーは,同質量の鋼鉄線の7倍以上の強 度をもつスーパー繊維である。メタ型のアラミ ド繊維(ノーメックス®)は,すぐれた高強度, 耐熱性のほか,柔軟性もあるので, 消防服など に利用される。 fNO Ooo. -NH-CO- 解説(2) ナイロン 610 の平均分子量をMとお foto 0.20 6.0×10'×0.10= くと -×8.3×10°×300 M 0H H ポリーm-フェニレン N イソフタルアミド . M=8.3×10 ナイロン610の分子量は, 282n+18だから, 282n+18=8.3×10° nHaN-(CHa)-NH2+nHOOC-(CH2)-COOH n=2.94×10° D318(1) 8(2) 3 (3) 3 (4) 5 (5) 1 (6) 3 (7) 2 (8) 7 (9) 2 O=O

量子力学・スピンハミルトニアンの時間発展について質問です。(1)〜(3)までは画像2枚目のように解いたのですが、(4)(5)の計算がとても煩雑になってしまいました。この方針で大丈夫なのでしょうか？また、(6)が分かりません。どのように考えればよいのでしょうか？

II. 図3のように番号;= 1,2,3で区別される3つのスピンがあり、それぞれ2軸方向に上向 きと下向きの2つの状態 |0);, [1}; をとることができる。2種類の相互作用 角,。を選択的に 切り替え、1番目と2番目のスピンの状態を3番目のスピンによって制御する。簡単のためプ ランク定数を2で割った定数んを1とし、相互作用白,白および時間tを無次元量として取 り扱う。 自。 ○ン 0 9 三 図3 ここで、1は恒等演算子、9, o9は番目のスピンの演算子,の行列表現である。各演 算子は10); = |0):, of° |1}; = -|1); を満たす。また、3つのスピンからなる状態を|1,0)|0}= |1);|0)2|0)s などと記すことにする。 (1) (),(o)°, of o) + ooを計算せよ。 (2) 9 を 10);, |1);に作用させた結果をそれぞれ示せ。 C○ (3) 白のもとでの時間発展演算子む(t) = exp(-8白t) = とーを白t)”が n! n=0 0(t) = cos° (t)i - sin° (t)a{)a£) + icos (t) sin (t)(o{) + )) を満たすことを示せ。ただし、一般に可換な演算子A, Bについて、e(4+B) - eáeb が成り 立つことに留意せよ。 (4) 白のもとで時間む、続いてのもとで時間tzだけ相互作用したときの時間発展は ()()= exp(-iHnt) exp(-iAt)と記述される。10,0)|0), I0,1)|0), |1,0) |0), |1, 1)|10) の4つの状態がひっ(n/4)0,(m/4) の時間発展をしたあとの状態をそれぞれ書き下せ。 次に、ある状態() = a|0,0) |0) + |1,1}10} (a, 8 は定数)を用意したところ、予期せぬ相互作 用により、1番目のスピンが微小回転してしまい、状態|)= VI-) + €)に変化し た。eの具体的な大きさは分からないが、状態|)をもとの状態」)に戻したい。 (5) 状態」)を問(4) のD2(T/4)ü,(T/4) によって時間発展させると、 Us(r/4)(r/4)) = \)) + i¢)10) という状態に変化した。1番目と2番目のスピンからなる状態|), o)をそれぞれ具体 的に書き下せ。 (6) 問(5) の状態に対し、3番目のスピンの測定をおこなうと、状態|)|1) と状態|o)|0)の いずれかが得られる。それぞれの状態に対してさらに個別にある演算子を作用させると、 微小回転量eの情報なしに状態 |) に戻せる。各状態について必要な演算子を答えよ。

x、yって角度ですよね？ なぜ実数になるのですか？

1.3 aは実数の定数とする.x, y の連立方程式 CoS x +2cos y=1, sinx+2siny=aだし、0年の日AT 5 が,少なくとも 1組の実数解をもつための aのとり得る値の範囲を求めよ。 DA%3D8A

この偏微分の問題解ける方いたら協力お願いします

を 0y Oz0y 求めよ。 5 2変数関数fについて, °f, °f O? Oy? をェとyを使わずに平面極座標 rと0のみを使って表せ. そうなる理由も述べよ。 P NEC レEC

この基本ベクトルって単位ベクトルと何が違うんですか？？ 教えてほしいです。お願い致します🙇

解説 <ベクトルの成分> 座標平面上の原点を 0, A(a1, az) とする。 Aからx軸,y軸にそれぞれ垂線 AH, AK を下ろすと K a。 Aa,a a OA=OH+OK 1E。 aze2 ここで,点E(1, 0), Ez(0, 1) をとり, ei=OE., ez=OE2 とする。ei, ez を 基本ベクトル という。 OH=a,OE=aiei, OK=azOE;=aze. から,ā=OA と すると,a=aieitaz@z と表される。 e2 E, 0 1 a,e

マーカーの部分はどのように出していますか？

式)Ap = 4TGP(この場合 φ<0である)を再現するように要請すれば, Kの値は が得られる。そこで, (4.31) 式がニュートン理論での重力場の方程式 (ポアソン方程 表5に開連 65 の重要な僕 Ruミ R°, uav =1" μv,a - T®, * HQ,u + T" uvT®ay -T' uaT® vm (4.25) となる。特にその 00 成分は Roo = T°00,a -T°oa,0 + T"ooTe ay - T"oaT®og. (4.26) ここで,3.2 節と同じく弱い重力場の場合: (4.2 9uv = 7uv + huv, hul <1 (4.27) なくとも e) から自 を考えると,T~O(h) なので, 最低次では Roo ~T"00,a-1"0a,0 r'o0, Ap. (4.28) (3.25) 式 っきり、Roo は,ニュートン理論における重力ポテンシャルのラプラシアンを与える項 (4.23) になっている。 これに対応する物質場を考えるために, まず (4.21) 式の両辺のトレースをとると (4.24) (左辺) = R-; 1 × 4R = -R= (右辺) =D «T. (4.29) 2 したがって, 一場合に 1 Rw =KTuw + 59uu R =x(Tuw - 59muT) て, そ ではな 3 (。+で) ) 0 (oo + E Ti) (4.30) Roo =K(Too go0 力場を のなか 事に満 よう。 2 i=1 ~-1 2-Too (4.6) 式を用いて,非相対論的完全流体 (lo<1かつp<pが成り立つ)に対して (4.30) 式の右辺を具体的に計算すると (4.31) K K K Roo ~ (+ po° + 3p) ~(o+3p) ~50 ーンソ (4.32) K= 8TG っし実 マ一蔵 (4.33) 1 G = Rw 29uu R= 8mGTu 12 った ためcを入れた場合の次元を考えておくと

3次元調和振動子の問題です。(10)がわかりません。(6)〜(9)は2枚目のように考えました。

II.質量m、角振動数u(> 0) の1次元調和振動子について考える。この系の定常状態に対する シュレーディンガー方程式は以下のように与えられる: mw?2? -)(a) = Ey(z). d? 2m da? 2 この式は d d -e da 1 a= at l= V2 de mw を用いて (cla+)W) - EWe) Fwla'a と書き直せる。 (6) 基底状態のエネルギー Eと波動関数 o(x)を求めよ(規格化しなくてよい)。 (7) 第1励起状態のエネルギー Eと波動関数()を求めょ(規格化しなくてよい)。 次に3次元調和振動子を考える。この系の定常状態に対するシュレーディンガー方程式は以下 のように与えられる: (( )fャ) (2,9, 2) = E(z,y, 2). (iv) 2m 2 (8) 基底状態のエネルギーを丸,m,wのうち必要なものを用いて表せ。 (9) 第1励起状態の縮退度 Dを求めよ。 (10) 第1励起状態で L。 i ー 2 8z の固有状態であるD個の線型独立な波動関数を (vi) と書く。式(vi) の関数の具体形(規格化しなくてよい)とL。に対する固有値を求めよ。

なぜこの下線部が必要なのですか？

用 点Pは直線 OQ上にあるので, OA=a, OB=6, oC=à とすると, する点をQ, 直線 OQ が平面 ABC と交わる点をPとする。 え方)点Pが,直線 OQ 上にあることと,平面 ABC 上にあることを用いて。 を、 例題 6 -のとき,OP :PQを求めよ。 5 OAW B F=kOQ となる実数んがある。 10 P したがって, OP=&OG-A(à+6+ 3 G 5 C 3 =ka+kb+-kc 5 E …O また。点Pは平面 ABC上にあるので, AP=sAB+tAC となる 実数 s, tがある。 15 00%3D90 OP-OA=s(OB-OA)+t(OC-0A) したがって, OP=(1-s-t)OA+sOB+t0¢ =(1-s-t)a+sb+tc ……) 0O-D90 4点0, A, B, Cが同一平面上にないから, ①, ②より, k=1-s-t, k=s, = 3 -k3t 5 これより,k= 5 となる。 13 5 OF=00 であるから, OP:PQ=5:8 13 第3章 空間座標とベクトル 3 @.a A

量子力学、有限井戸型ポテンシャルの問題です。 (5)がわかりません。V_＊=π^2hbar^2/8ma^2と求めました。

以下の問I、II に答えよ。ただし、プランク定数を 2mで割った定数をんとする。 I.1次元のポテンシャル中の質量mの粒子を量子カ学的に取り扱う。粒子の座標をとし、ポテ ンシャルをV(z)とする。aと %を正の定数として、図1のように| >«の領域でV(z)= % で|<』の領域でV(z) = 0のとき、V%の値を小さくしていったところ、V%<V,のときに東 縛状態が一つだけになった。 (1) 図2のようにV% が無限大のとき、すなわち ||>aの領域でV(z) が無限大で || Saの領 域でV(a) = 0のとき、基底状態のエネルギーおよび第1励起状態のエネルギーを求めよ。 (2) 図1のポテンシャルでV%> V,のとき、基底状態の波動関数および第1励起状態の波動関 数の概形を描け。 (3) 図1のポテンシャルでV%> V。のときを考え、基底状態のエネルギーと第1励起状態のエ ネルギーをそれぞれ Eo, E, とする。このポテンシャルを、図3のように、a<0の領域で はV(z) が無限大となるように変更する。変更後の系の基底状態のエネルギー Eを Eと EEのうちの必要なものを用いて表せ。 (4) V,を求めよ。 (5) 図4のように、|2| < 3a の領域および ||> 5a の領域でV(z) = V./2で3a< ||| < 5aの領 域でV(z) = 0のとき、束縛状態の数を答えよ。厳密に導出する必要はないが、根拠を簡 潔に記すこと。またすべての束縛状態の波動関数の概形をエネルギーが小さい順に描け。 V(2) V(2) V% * E ーa 0 a ーa 0 a 図1 図2 V(2) V(x) Vo Iv./2 0 a ー5a -3a 0 3a 5a 図3 図4