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基本 例題26 交点の位置ベクトル (1)
| △OAB において,OA=d, OB=とする。 辺OAを3:2に内分する点をC,
|辺OBを3:4に内分する点を D, 線分AD と BC との交点をPとし,直線OP
解答
と辺AB との交点を Q とする。 次のベクトルをà, を用いて表せ。
(1) OP
|指針
(2) OQ
〔類 早稲田大〕
基本
(1)線分 AD と線分 BC の交点P は AD 上にもBC上にもあると考える。そこで、
AP:PD=s:(1-s), BP:PC=t: (1-1)として,OPを2つのベクトルを
用いて2通りに表すと, p.12 基本事項から
0, 0, xaと言が1次独立) のとき
pa+qb=p'a+q'b>p=p', a=a'
(2) 直線 OP と線分 AB の交点 Q は OP 上にも AB 上にもあると考える。
CHART 交点の位置ベクトル 2通りに表し 係数比較
(1) AP:PD=s:(1-s), BP:PC=t: (1-t) とすると
よって
OP=(1−s)OA+sŒD=(1−s)ā+ sb, (+)
OP=tOC+(1−t)OB=ta+(1−t)b
3
5
3
5
3
3
1-t
C
2
a
A
(1-s)a+sb=ta+(1−t)ỗ +8=-A-Da
d=0, 60, ax6であるから1-s=2/23t, 22s=1-tの断りは重要。
BJ
これを解いて
S=
7
13
10
t=
13
したがってOP=116
3
a+
13
13
(2) AQ:QB=u:(1-u) とすると
OQ=(1-u)a+uo
また,点Qは直線 OP 上にあるから,
0
3
6 →
a+
13
OQ=kOP (kは実数) とすると, (1) の結果から
よって
6
ka+
OQ=k(3 à +336) = kā + 13kb
(1-u)a+ub= kā+3kb
a = 0, 50, axであるから 1-u=
2
13
a
6
Au-
-ka+
13
13
6
13k, u=33k
13
の断りは重要。
これを解いて
k=
u=
Ha 3
したがって
0Q=
a+
+1/36
練習
OAB において,辺OA を2:1に内分する点をL,辺OBの中心
26 AM の交点をPとし、直線QP
B
