なんで矢印のようになるのか教えてください！

考え方 放物線と直線とで囲まれた部分の面積が,放物線とx軸とで囲まれた都分の価積の 440| 第7章 積分法 Check 例 例題 249 面積の比 5の個様の 放物線 y=xー6x と直線 yーkx の交点のx座標は, 解答 x-6x=kx より, となるときを考える。 放物線と直線のま。 らッを消去する。 x{xー(&+6)}=0 x=0, を+6 したがって、放物線のグラフと 直線は,右の図のようになる。 ここで、放物線とx軸とで囲ま れた部分の面積を S, 放物線と直 -6<k<0 より、 線y=kx は右 りとなる。 k+6 6 線とで囲まれた部分の面積をS: と すると, S=-(x°-6x)dx ぐ(x-a(x-Bx Jo =ー(x-6)dx=(6-0)"=36 (B-a ニー 0SxSk+6 のとき,kxZx?-6x であるから, 6 でR+6 S;= ( {kx-(x°-6x)} dx Jo でk+6 =-x(xー(&+6)}dx =(k+6)-0=(e+6)° 36=2(k+6)° 6 S=2S, であるから, したがって、 (R+6)°=108 kは実数より,k+6={108 =34 であるから, k=-6+3/4 これは -6<ん<0 を満たす。 よって, 108 =3x4 =34 64<108<5 より,4<3T<5 k=-6+3/4

置換積分法1と2の使うパターンの区別がつきません。 どんな問題の時にどちらを使うのか区別の仕方を教えてください

yを2通りの不定積分で表すと, 次の置換積分法 の公式が成り立つ。 Plx)をf(x) の原始関数とする。 xがtの関数として x=g(t) と 置換積分法 第1節 不定積分 207 )が微分可能であるとき ーF(x) = f(x), t- x dt-(x)g'(t)= f(g(t)g() 「y=x dy .dx dx の通りの不定積分で表すと,次の 置換積分法の公式が成り立つ。 = f(x)g'(t)= f\g(t))g(t) 換積分法(1) 1 Srco)da=Sr(o()が()dt フ 1 1(2) ただし, x=g(t) x=g(t) のとき dt dx -= g'(t) である。 dx dt =g'(t) を形式的に ル=d'(t)dt と書き表すと, 上の公式1における式の変形が覚えやすい。 dx=\f(g(E))(t)) 合xをg(t), dxをg'(t)dt におき換える。 プラフ 例題 1 不定積分(xx+I dxを求めよ。 dx -=2t dt 解答 Vx+1 =t とおくと x=t°-1, dx=2tdt Javz+I d«=S("-1)+2/dt=2\("-P)d 1x +C= が(38-5)+c 3 5 15 フ 2 三 15 ファー1にで 2レ:イシ 次の不定積分を求めよ。 5 X-dx /x+1 (1) \xv2x-1dx 第7章 積分法とその応用

数学Ⅲの問題の質問です。 添付した写真の問題についてですが、なぜ最初にk≦x≦k+1と置くのでしょうか？ 個人的には、定積分と不等式は、ある閉区間の上で成り立つので、このような回答をしているのだと思うのですが、友達にうまく説明できず困ってしまいました。 他の人的には、なぜい... 続きを読む

例題 次の不等式を証明せよ。 ただしくnは自然数とする。 15 12 1+ 1 1 +···…+->log(n+1) 3 n 証明 自然数kに対して, 仮三xミk+1のとき 1 1 2 k x また,等号は常には成り立たな 1 い。よって x S- dx> k+1 1 dx x k k k k+1 dx 1 すなわち k 1 k 10 k x 0 k k+1 > -S-S,+S.4 e+1 dx 1 ゆえに 2 k=1 k n k=1Jk x * e+1 dx *2 dx 3 dx dx * n+1 dx 右辺は 2 1 x J3 X 「n x k=1Jk 1n+1 [ogla *n+1 dx lxl|| =log(n+1) 三 x 終 したがって 1++ >g(n+1) 2 3 *「注意】例題 15 で示した不等式の両辺の極限を考えると, limlog(n+1)=o n→0 1 1 3 から 2 n 第7章 積分法

練習22の（4）が、解答と合いません💦 どこが間違えているか教えてほしいです！ お願いします！！

上傾力の部万慎分法 130 ページで学んだ積の導関数の公式 {f(x)g(x)}{=f°(x)g(x) +f(x)g'(x) から[)g(x)-Sra)(x)ds+S;rc)o()dx したがって,次の公式が成り立つ。 5 定積分の部分積分法 Sr)(a) d=[ ())(x)]-Sr)o(e)ds 10 例題 13 定積分( x CoS xdx を求めよ。 Sromrde-Srcaina)dr 2 x CoS x dx= るれす 解答 そ cosx=(sinx)' π -xsina|-(y sinxdx =|xsinx 10 そ(x)=1 π -| sinxdx 2 T π 2 COS X 10 π -1 m 練習 次の定積分を求めよ。 22 15 (2) S, xercx xsinxdx (3) S,2x10g.xdx (4) \, (2x+1)logxdx 第7章 積分法とその応用 T II

確率の最大値について。 １番上のマーカー部分の計算の仕方が分かりません。どうやったら「1+」の形にできますか？ また、１番下のマーカー部分のn=4の時p5=p4になるのはどうやったら分かりますか？ 教えてください。 真ん中のマーカーは引き間違えなので気にしないでください。

206 第7章 確 率 127 確率の最大値 白玉5個,赤玉n個の入っている袋がある。この袋の中から、 2個の玉を同時にとりだすとき, 白玉1個,赤玉1個である確率 を pで表すことにする。このとき、次の問いに答えよ。ただし、 n21 とする。 (1) p を求めよ。 (2カを最大にするnを求めよ。 解答 C.C. +sC。 2·5·n (n+5)(n+4) n! 4.C.3. r(n-r)! 10n (n+5)(n+4) Pat1 10(n+1) (n+5)(n+4) (n+6)(n+5) の形で1と大 p。 p。 10n 4-n 小を比較 %=D1+ n(n+6) pat-1= p。 n(n+6) 4-n n(n+6)>0 だから n(n+6) 特号を調べるには分 よって、nく4 のとき, Pai>1 n=4 のとき、 か=D 子を調べればよい n25 のとき、 <1 この式をかく方がわ ; かくかくあくか=Dか>p>>… よって, を最大にするnは, 4, 5 かりやすい

tの値までは出せたのですが、その先の赤い線で引いたところの意味がわからないです。 よろしくお願いします

422 球を平面で2つに切って, 2つの部分の体積の比が20:7になるようにする 423 次の曲線や直線で囲まれた部分が, x 軸の周りに1回転してできる回転体の とはどのように切ればよいか。 体積『を求めよ。 (1) y=2x°, y=ーx+3x (0Sx)--1 →数p.242 応用例題11 ーx+ ソ=ー (2) y=COSX 曲線ソーlogx, 原点を通るこの曲線の接線,およびx軸で囲まれた部分が, y 24 軸の周りに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ。 ヒント ビ 球は、円x?+y?=1 で囲まれた部分が, x 軸の周りに1回転したものとし, x軸に垂直な 平面で2つに切るとする。 126 -4プロセス数学II 422 球を,円 (2) 直線 y=-ニx+1 x+ y°=1がx軸の周 りに1回転してできる 回転体とし,x=t (0<t<1)を通り x軸 に垂直な平面で2つに とx軸および y軸で 囲まれた部分が, x 軸の周りに1回転し てできる回転体は, ソ= 切って,体積の比が 20:7になるように分 けたとする。 半径1, 高さの円 錐であるから,その 体積は 球の体積は号であるから, 小さい方の体積は 11 12 3 元? 7 4 28 -X π= 27 上の図の斜線部分が, x軸の周りに1回転して できる回転体の体積は よって cos' xdx- V: =ロ-=-- 4) よって ー)- )dx =(1+cos2x)dxー。 -n2 --0-号 28 6 式を整理して 27: -81t+26=0 (3t-1(9t2+3t--26)=0 1 -1土V105 すなわち 三 よって t= 12 6 0<<1であるから t%3 424 y=log x より ダー 4.2 =2:1に内分す よって,曲線 y=log x 上の点(t, る接線の方程式は したがって, 球の直径を号: る点を通り,その通 い。 垂直な平面で切ればよ ソーlogt=-xー) 423 (1) 2つの曲線の 共有点のx座標は, 11 すなわち y=ーメ+logt -1 |y=2x? 接線Dが原占(0 00む通 第7章 積分法と

3の倍数ではない場合の数の求め方が分からないです。 こうゆう問題って全部から○○ではない数を引くことが多いのですが○○ではないの求め方教えて欲しいです。

59 278 第7章 個数の処理 179 さいころを3回投げて出る目の数の積を計算するとき,その値が3の倍数になるような目 の出方は何通りあるか、 さいころを3回投げて出る目のすべての場合の数を目十 n(U)とすると, n(U)=6×6×6=216 (通り) 出る目の積の値が3の倍数である場合の数を n(A)と すると,3の倍数でない場合の数は n(A) とおける。 n(A)=4×4×4=64 (通り) より, n(A)=n(U)-n(A)(い) +e 0) |3,6の目を, 3, 6以外の目 (1, 2, 4, 5の目)を○とする と,積の値が3の倍数になる のは, A 出AT 〇○, Oの場合に対して, 3の倍数にならないのは, ○●, ○O, =216-64 =152(通り) よって, 求める場合の数は, 工tis 〇0 152 通り の場合だけである。

(2)でなぜpベクトルとqベクトルを連立方程式で解くのかわかりません。 なぜですか？ 2枚目は私なりに書いた図、3枚目は答えと解説です！

610. 平行四辺形 ABCD において, 辺 ABを 3:1 に内分する点をE, 辺 CDの中 点をF, 辺DAを 1:2 に内分する点をGとする。 AB36, AD=d. GE=6, GF=q とするとき, 次の問いに答えよ。 () か, 9をそれぞれる, àを使って表せ。 (2) 百をあ、行を使って表せ。

解説の赤線部分はどこからわかるのか教えてください。

等式 cos 30=4cos'0-3cos0 を示せ、 @ 2cos 80°は3次方程式x-3x+1=0 の解であることを示せ、 -3x+1=(x-2cos80°)(x-2cosa) (x-2 cos β) となる角度 , βを求めよ。 第7章 三角関数 58 ただし, 0°<α<B<180° とする。 (思考のひもとき) 1. S(x)=0 の解がx=αであるときf(a)=0|である。 (筑波大) 2 3次方程式ax + bx°+ cx+d=0が, 異なる3つの実数解 x=p, q, rをもつとき、 ax°+bx°+cx+d=|a(x-p)(x-q)(x-r)と因数分解される。 解答 cos 30= cos (20+0)= cos 20 cos 0- sin 20 sin0 =(2 cos°0-1) cos0-2 sin0 cosθ·sin0 =2cos°0-cos0-2(1-cos'e)cos0 =4cos°0-3cos0 (2) f(x)=x°-3x+1とすると fluai) 20を f(2cos 80°)=(2 cos80°)*-3(2 cos 80°)+1 COS COS =8 cos°80°-6cos 80°+1 \ =2(4 cos 80°-3cos 80°)+1 sin30: 35m5 =2 cos3-80°+1 ( (1)より) Q aos30 - 4 ca? =2 cos 240°+1 =2· +1=-1+1=0 よって,2cos 80°はx-3x+1=0の解となる. 口 (3) ポー3x+1=(x-2cos 80°)(x-2 cosa)(x-2cosβ) より x=2cos80°, 2cosa, 2 cosβ はx-3x+1=0 の3つの実数解となる。 よって,2cos a, 2cosβをまとめて2cos0とすると(0=a, B) f(2 cos0)=2 cos 30+1 (:" (2)と同様) 2cos0がf(x)=0の解だから 2cos 30+1=0

Bの2枚目の赤線部分から3枚目の赤線部分に変形の仕方がわかりません。教えて欲しいです🙇‍♀️🙇‍♀️

B] 0S0<2n とするとき, 不等式 sin 20-V3 cos 20、3 を解け、(営槻語、 [C] 0S0<2n のとき,不等式6sin0-5 sin 20+sin 40<0 を満たす0の値の を求めよ。