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基本 例題 30 整数解の組の個数 (重複組合せの利用)
(1) x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。
00000
(2)x+y+z=10 を満たす正の整数解の組 (x,y,z)は何個あるか。
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整数解の組の個数と仕切りの活用
p.294 基本事項 3基本29
(1) 直接数え上げるのは大変である。 問題を読みかえて, x, y, zの異なる3個の文字から
重複を許して7個の文字を取り出すと考えよう。すなわち 7個の○と2個の仕切りの
順列を考え,仕切りで分けられた3つの部分の○の個数を,左から順にx,y,zとする。
〇〇〇一〇〇一〇〇には (x, y, z)=(3, 2, 2)
例えば
一〇〇〇〇〇〇〇には (x, y, z)=(0, 2, 5)
がそれぞれ対応する。
(2)x,y,z正の整数であることに注意。 (1)の考え方では0となる場合も含むから
x-1=X, y-1=Y, z-1=Z
とおき、0であってもよい X≧0, 0, Z ≧ の整数解の場合 ((1) と同じ) に帰着させ
る。これは, 10 個の○のうち, まず1個ずつを x, y, z に割り振ってから, 残った7個の
1個ずつをx,y,zに割
○と2個の仕切りを並べることと同じである。
また,別解のように, 10 個の○と2個の仕切りを使う方法でも考えてみよう。
要
次の条
(1) 0
CHA
大小
(1) 3
ら
(2.
そ
重
別
A
(c
解答
(1) 求める整数解の組の個数は, 7個の○と2個のを1列
に並べる順列の総数と同じであるからAPの道
9C7=9C2=36 (個)
(2) x-1=X, y-1=Y, z-1=Z とおくと
X≧0, Y≧0,Z≧0
このとき, x+y+z=10 から
よって
(X+1)+(Y+1)+(Z+1)=10
X+Y+Z=7, X≧0, Y≧0,Z≧0.
求める正の整数解の組の個数は, A を満たす 0 以上の整数
解 X, Y, Zの組の個数に等しいから, (1) の結果より 36個
(別解 10個の○を並べる。
このとき,○と○の間の9か所から2つを選んで仕切りを
入れ
A|B|C
ので、地点
としたときの, A, B, C の部分にある○の数をそれぞれx,
y, z とすると, 解が1つ決まるから
C2=36 (個)
別解 求める整数解の組の
個数は、3種類の文字 x, y,
zから重複を許して7個取
る組合せの総数に等しいか
3H7=3+7-1C7=9C7
=gC2=36(個)
x=X+1,y=Y+1,
z=Z+1 を代入。
例えば
001
1000
(x, y, z)=(2, 5, 3)
を表す。
(1)
