っ 問題のページ:
① g=まga = 30a二1 (。ニ1 2, 8, …)に対して,
十き
き 9 21 45
の ニ 3 =き, aa = 5 = o。 =全 5. gs = 立 gh
6 5 8 9 318 7 15+s 38
⑫ ①より. Em と推測でき, この式を数学的帰納法によって証明する。
ゃ 2ー1_1
G ヵ=ニ1のとき qg= 2T1 =より成立する。
⑩ ヵ=*のとき ax=和1 と仮定すると,
2 1
3-2* 8+2*+1 4.2*_2 20_1
gs 回 ニ
「 2 -1+3.26+8 4.24よ2 21オ1
よって, ヵ=ニ十1のときも成立している。
⑪⑩Gより, ga =婦ユ である。
⑬⑲ gw >1-10"とすると, og ニー学ニキーニューー 2より,
2"二1 2"二1
ーーター>ー10 9、20 エキュ>2.108………(*)
人ダ+1
さて, 自然数ヵ に対し2" =2.10*" となる場合はなく, (*)を2" >2.10"として
1 Ha 18 二
>10"。(ヵー1)1ogno2>18。 2 =son0 > 0.8
よって, 求める最小のヵは 61 である。
[解 説]
滞化式の基本問題です。推測一帰納法での証明という方針も問題文中に示されて
ます。 なお, ⑫の推測に時間がかかるときは, たとえば分母だけを取り出した数列
階差数列が等比数列ということに着目する手もあります。
