基礎問
186
103 絶対値のついた関数の積分 (II)
f(x)=fle'-xldt (1<x<e) とするとき,次の問いに答えよ。
(1) f(x) を求めよ.
(2) f(x) を最小にするxの値を求めよ.
定積分する関数には、xとtの2文字が含まれています。 このよう
|精講
なとき,「どちらの文字で積分するのか?」ということが第1のポイ
ントですが,これは「dt」を見るとわかります.すなわち,これは
「tで積分しなさい」といっているのです.だから,積分を実行するとtはい
なくなって、だけが残ることになります. 左辺が 「f(x)」 とかいてあるのは
このためです.
第2のポイントは,積分の方法です.基本的には絶対値がついているので
「はずす」ことになりますが, 102 の横に,
ⅡI. グラフを利用する
とあります. 今回はこれを利用します. すなわち, y=et と y=xのグラフ
を利用しますが、問題は, y=xのグラフです。 「原点を通り,傾き1の直線で
しょ?」 と思った人は要注意です.
解答
(1) 1<x<e だから, 0≦t≦1 において
e = x をみたすtが存在し, そのときの
値は t=10g (右図参照)
:: le ²-21= [ -=-e²-2
-(et-x) (0≤t≤log.x)
(log.x≤t≤1)
よって,
log.x
ƒ(x)= − 1³² (e²− x) dt+ ſ (e²-x)dt
logr
log.x
xt
10
+
=-2(elogz-xclogx)+1+e-x
=2xlogx-3x+e+1 (elog²=x より )
logr
Ay
X
O
log x
ry=et
y=x