-
![]()
基本例題 63 2直線の交点の位置ベクトル
00000
四面体OABCの辺OAの中点をP、辺BCを2:1に内分する点をQ、辺OC を
1:3に内分する点をR, 辺ABを1:6に内分する点をSとする。 OA=a,
OB=6, OC = 2 とするとき
(1) PQ をa, 6,こで表せ。
(2) RS , , で表せ。
(3) 直線PQ と直線RSは交わり その交点をTとするとき, OT を 4, 6,こで
表せ。
[類 岩手大]基本24
0
指針 (1), (2) PQ=OQ-OP, RS=OS-OR (差による分割)
(3) 平面の場合 (p.418 基本例題24) と同様に、
解答
①交点の位置ベクトル 2通りに表し係数比較
に沿って考える。 点T は直線PQ, RS 上にあるから, PT=uPQ ( は実数)、
RTRS ( は実数)として OT 4, 6,こで2通りに表し、 係数を比較する。
14
_1 •b + 2 € _ 1/2 à = = = = a + ² b + ² = ē
(1) PQ=OQ-OP= 2+1
6a+1.6
1+6
1 c = a + 1 6-1 c
b
4
(2) RS OS-OR=
(3) 直線PQ と直線RS の交点をTとする。
Tは直線PQ上にあるから PT=uPQ (u !£NM)
よって, (1) から
2
OT=OP+uPQ=(1-u)ã+ = {ub + ²/3 uč
uc
T は直線 RS 上にあるから RT=RS ( は実数)
ゆえに, (2) から
OT=OR+vRS= vã+vb + — + (1-v) ²
4点0. A, B, C は同じ平面上にないから, ①,②より
(1-0)-701-703-(1-0)
u= -1/3¹
-15
第1式と第2式から
これは第3式を満たす。
よって①から OT=2/3+1/356+1/30
万+
******
C
の断りは重要。
ズーム 空間における交点の位置ベクトルの考え方
UP
空間の場合、 どのように考えればよいのか 思考力
まず, 平面における交点の位置ベクトルについて, 例題
24 (1) では,線分 AD と BCとの交点Pに対し,
点Pは線分 AD上にもBC上にもある
と考えてOP を a, ” を用いて2通りに表した。
空間についても同様で、例えば, 例題63 (3) の場合,
点Tは直線PQ上にもRS 上にもある
と考える。そして, OTを2通りに表すが、 空間の場合
には,3つのベクトルa, b, c を用いて表すことになる。
補足 PT=uPQ. RT = RS はそれぞれ
PT: TQ=u: (1-u), RT: TS=v: (1-v)
と同じ意味である。
XX
P
空間の場合も断り書きは重要表現
平面の場合,
a=0.6=0. axb であるとき, sa+b=s'a+t6⇒ s=s', t=t
であるから,
0, 60.ax6である」という断り書きが重要であった。
これは OA=4,OB=6, OC = " とするとき, 空間の場合の断り書
BAD!
空間の場合には、次の性質を利用する。
同じ平面上にない4点 0, A, B, C に対し, OA=a, OB=6, OC=c
とするとき, sa+t+uc=sa+to+u'c s=s',t=t', u=u'
よって, 空間の場合、 「4点 0, A, B, C が同じ平面上にない」 といった断り書きが
重要となる。
B
きを
[a = 0, 60, c=0, axb, bxc, exa である」
としたら、間違いである。 なぜなら、 右の図のように, 4点
0, A, B, C を同じ平面上にとることができるからである。
平面, 空間ともに断り書きが重要という点は共通しているが、その断り書きの内容
は異なるので、注意が必要である。
b
0
[補足] OAa. OB=6, OC = c として,もし, 4点O, A, B, C が同じ平面上にある場合、
例えば,cがa, ” を用いて, c=a+2 と表されるとする。
このとき, 2a+35+c=a+6+2c [=3a+56] となり,両辺のd. . この係数が等
しくなくても等式が成り立つことがある。
