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重要 例題 96
2 変数の不等式の証明爆実験
600
b
が成り立つことを証明せよ。
●基本 92 93
0<a<b<2r のとき,不等式bsin/asin/12
CHART & SOLUTION
2変数 α, bの不等式の証明問題であるが,本問では左右にそれぞれある変数a, b,左辺
にはαのみ,右辺にはbのみが集まるように変形して,同じ関数で表せないかを考える。
不等式の両辺を ab (0) で割ると
bsinasin
b
変形
a
1 sin >> 1s
b
a
b
-sin
F(a,b)>F(b, α) の形
f (a) >f (b) の形
1
XC
よって、f(x)=1/27sin 2017 とすると,示すべき不等式は
f(a)>f(b) (0<a <b <2 )
つまり,0<x<2πのとき f(x) が単調減少となることを示せばよい。
解答
0<a<b<2のとき、不等式の両辺を ab(0) で割ると
1
(1)
a
1
sin
sin
a
b
2
x
この不等式が成り立つ
ことを証明する。
ここで,f(x) = 1/12sin 1/2 とすると
x
1
x
COS
2 2x
f'(x)=sin+cos
x
=2(xcos -2sin)
x
g(x)=xcos
2x2x COS
x
2012 in 1 とすると
2
g'(x)=cos-sin-cos-sin
2
x
/ 2
x
smil
0<x<2 のとき,0πであるから g'(x)<0
f=
(uv)'=u'v+uv'
ゆえに
は符号
よって、
←
f(x)の式の
が調べにくいから,
g(x)の符号を調べる。
g(x)=
として
のとき
よって,g(x)は 0≦x≦2πで単調に減少する。 sin > 0
また,g(0)=0であるから, 0<x<2πにおいて
g(x) < 0 すなわち f'(x) <0
よって,f(x)は 0<x<2で単調に減少する。
YA
0
すなわち bsin 12/asin/1/23
ゆえに, 0<a<b<2 のとき 1/12 sin 1/2 1/18 sin
する
a
f(a) 1
b
2
a
y=f(x)
To
a
b 2
f(b)
