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を自然数とする。 2*を7で割った余りが4であるとき, Rを3で割った
2であることを示せ。
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重要 例題7 整数の問題への二項定理の利用
【類千葉大)
指針> 2*=71+4 (1は自然数)とおいてもうまくいかない。 ここでは,
kが 3q, 3q+1, 3q+2
1(1
(qはんを3で割ったときの商)のいずれかで表されることに注目し, k=3q+2の場合t
例えば,た=3qのときは, 2*=2°9=8°であり, 89=(7+1)° として 二項定理 を利用する。
ー3で割った余りが0, 1, 2
け”を7で割った余りが4となることを示す方針で進める。
2
2* を7で割ったときの余りを求めることができる。
43で割った余りは0か1
2である。
解答
をを3で割った商をgとすると, kは 3q, 3q+1, 3g+2
のいずれかで表される。
[1] k=3q のとき, q>1 であるから
R=3, 6, 9,
2*=29=(2°)?=893(7+1)°
=Co7°+,C.7°-1+ +Cq-1.7+Cg
=7(Co7-1+C.79-2+ +Co-)+1
イ二項定理
は整数で、
2*=7×(整数)+1の形。
よって, 2*を7で割った余りは1である。
[2] k=3q+1のとき, q>0であり
q=0すなわちk=1のとき
q21のとき 2*=29q+1=2-299=2-8°32(7+1)
k=1, 4, 7,
▲二項定理を適用する式の権
数は自然数でなければなら
ないから,q=0 とq2で
分けて考える。(*)は]
の式を利用して導いている。
R=2, 5, 8,
2*=2=7-0+2
=7-2(,Co7°-1+,C,7°-2+…+,Cq-1)+2(*)
の よって, 2*を7で割った余りは2である。
[3] k=3q+2のとき, q20であり
q=0すなわち ん=2のとき
2=2°=4=7·0+4
g21のとき 2*=2°9+2=2°-299=4.89=4(7+1)
=7-4(,Co79-1+,C,7"-2+…+Cq-1)+4
[1]の式を利用。
よって, 2* を7で割った余りは4である。
[1]~[3] から, 2*を7で割った余りが4であるのは, k=3q+2のときだけである。
したがって, 2* を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは2である。
