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基本例題 20 一般項を求めて和の公式利用
次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。
(1) 12,32,52,
指針 次の手順で求める。
① まず 一般項を求める
解答 (1)
+ESUT? Can
与えられた数列の第k項をak とし, 求める和を Sn とする。|
=(2k-1)2
(2) 1,1+2, 1+2+22,
→第k項をnの式で表す。
②22(第k項) を計算。 Σk, Σk2, Σk の公式や, 場合によっては等比数列の和の
k=1
公式を利用。
よってSn=ax=②(2k-1)=2(4k²-4k+1)
k=1
n
n
n
766 679 €) = 4 2 k² − 4 ± k + 2¹
=k-1
k=1
data k=1 k=1
注意で,一般項を第n項としないで第k項としたのは, 文字nが項数を表して
いるからである。
(2) αk=1+2+22+...... +2k-1
←等比数列の和
等比数列の和の公式を利用して ak をk で表す。
CHART Σの計算 まず一般項 (第k項) をんの式で表す
=4.1/n(n+1)(2n+1)-4・1/23n(n+1)+n
= n{2(n+1)(2n+1)−6(n+1)+3}
-n(4n²-1) = n(2n+1) (2n-1)
(2) ak=1+2+2²+...+2k-1 — 1• (2²—1) =2-1
2-1
よって
n
Sn=Σ ak= Σ(2k-1)= Σ 2² — Σ 1
k=1
k=1
k=1
n
=
k=1
2(2-1)
2-1
………...
基本1
(*)
重要 32
第k項で一般項を考え
る。
1/1/3でくくりの中
に分数が出てこないよう
にする。
--n=2"+1-n-2
注意 和が求められたら, n= 1,2,3として検算するように心掛けるとよい。
例えば,(1) では, (*)において,n=1 とすると1で,これは12に等しくOK。
(*)において n=2とすると10 で, 12 +32 = 10 から OK。
各項の
km 21
1
第n項がれ!
akは初項1,公比 2, 項
数んの等比数列の和。
[参考 Sn= 2 (2 2²-¹) 2
S.
表すこともできる。
別の和を求め、
(+)
・の左
・の右
これらを持
→初
また,
k=
この数列の
k
したがっ
