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ONGER. EEPRO
重要 例題 48 2次方程式の解と係数の関係と式の値
| 2次方程式x-mx+p=0の2つの解をα, β とし, 2次方程式xmxq=
の2つの解をx, 8 (デルタと読む) とする。
(1) (y-a)(y-B) を p, g を用いて表せ。
(2),gがxの2次方程式x²ー(2n+1)x+n²+n-1=0の解であるとき,
基本 39.44
(x-a)(y-B) (8-α) (8-β) の値を求めよ。
解答
針解と係数に関係した問題では,次の3つ(互いに同値) を使い分けることが重要。
11 2次方程式 ax2+bx+c=0の2つの解がα, B
b
[2] α+β=- aß=
a
[3] ax²+bx+c=a(x-a)(x-3)
(1) (y-a)(y-β) の式を導きたいから,x-mx+b=(x-a)(x-β)であることを利
用して考える。
(2)同様に (8-α) (8-B) をp, gで表し, 解と係数の関係を利用。
USOTHO
(1) α,β は x 2-mx+p=0の2つの解であるから (11
x2-mx+p=(x-a)(x-β)
3-√23 2
45+²x²\£(1.
******
補羽 (1)
この等式の両辺にx=y を代入して
y²-my+p=(y-a)(y-B)
また,yはx2-mx+g=0の解であるから
a
ゆえに
よって
よって
4 y²-my=-q ##$^_P+vS+FORED Jel
①に代入して (r-a)(y-B)=b-g-my を消去。
(2) 8もx-mx+g=0の解であるから, (1) と同様にして
(8-α) (8-β)=p-g
51+ 5TH) (r-a)(r-B)(8-a)(8-B)=(p-q)² (1-v)8-
ここで, pg は x 2-(2n+1)x+n²+n-1=0の解であ
るから、解と係数の関係により
p+g=2n+1,
......
_r²-my+q=0UASIO
FOUN
=5
指針_
の方針
解の対称式の値では、こ
の方針が役立つこともあ
る。
=(2n+1)²-4(n²+n−1)
Styx dost
pg=n²+n-1){ (s+v-) 指針の② を利用。
(p−q)²=(p+q)²-4pq (1-vS+x) (S−2+◄(p-q)²=p²-2pa+d
(r-a)(r-B)(8-a)(8-ß)=5
1-² =
(1) のyを6におき換え
るだけでまったく
ことがいえる。
= (p²+2pq+q²)-4p
= (p+q)²-4pq
このとき,
