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例題 134 曲線の通過領域 [3]
思考プロセス
D
★
を実数とするとき, 方程式 Ch:x2+y+x+ (2k+1)y+k+1=0を考
える。
X=x
(1) C が表す図形が存在するようなkの値の範囲を求めよ。
(2) C が表す図形の通過する領域を座標平面上に図示せよ。 (早稲田大改)
(1) Ck:x2+y2+x+(2k+1)y+k+1= 0
XS
平方完成
(2) p.233 探究例題6と同様に,y=にしたとき,
y座標の値の範囲が考えにくい
← ( x − )² + (y - )² = 0
図形を表す条件は?
「逆像法」で考える。
保法」
« Re Action 曲線の通過領域は、任意定数が実数解をもつ条件を考えよ 例題 132
見方を変える
1+ XS
図形 Ck: x2+y2+x+ (2k+1)y +k+1 = 0 が点 (X, Y) を通る。(X, Y)の
⇒ X2+ Y2+ X + (2k+1) +k+1=0を満たす実数んが (1) で求めた範囲に存在する。
kの2次方程式 k +2Yk+ X2+ Y' + X + Y+1=0 を満たす実数解んが (1) で求
めた範囲に存在する。
解 (1) x° + y° + x + (2k+1)y + k + 1 = 0 より
(x+1/2)+(x+
=k--
(右辺) > 0 のとき円を
2
2
よって, 方程式 Ck が図形を表すようなんの値の範囲は
(右辺)=0のとき点を表
す。
k-
1
2
≥O
1
したがって
k ≥
2
830
Agton LA 100
()
1
(2)(1)より,k≧
2
のとき方程式 Ckが表す図形が存在
する。 図形 C が点 (X, Y) を通るとすると
IA
112
X2+ Y2 + X + (2k+1) +k + 1 = 0
すなわち
X2
k+2Yk + X2+Y+X+Y+1=0 ... ①
点(X, Y) の集合(領域)
を求めるために,XとY
の関係式を導く。
を満たす実数んが≧ に存在する。
2
Action
f(k) = k +2Yk+ X + Y + X + Y + 1 とし①の判別
式をDとすると
「不
れた
の
等式に分けて考えよ」
D
D=Y2-(X2+Y2+X+Y+1)=-X°-X-Y-1
4
X+
ここで(1/2)(x+1/21)+(
+ (Y+1) ≧ 0 であるから ①
を満たす実数が
に存在するとき
0 1
12
y=f(k)
