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(1) 20! を計算した結果は、2で何回割り切れるか。
(2) 25! を計算すると, 末尾には0が連続して何個並ぶか。
指針 第1章でも学習したが, 1からnまでの自然数の積1・2・3･....... (n-1) n をnの階
乗といい, n! で表す。
解答
(1) 1×2×3×･････ ×20の中に素因数2が何個含まれるか,ということがポイント。
23220 であるから, 2, 22 23 24 の倍数の個数を考える。
(2) 25! に 10 が何個含まれるか,ということがわかればよい。 ここで,10=2×5であ
るが, 25! には素因数2の方が素因数5より多く含まれる。
したがって, 末尾に並ぶ0の個数は, 素因数5の個数に一致する。
CHART 末尾に連続して並ぶの個数 素因数5の個数がポイント
(1) 20! が 2で割り切れる回数は 20! を素因数分解したと
きの素因数2の個数に一致する。
1から20までの自然数のうち,
2の倍数の個数は20を2で
割った商で
10
22の倍数の個数は 20 22
で割った商で 5
23の倍数の個数は 20 23
[類 法政大 ]
基本112
23:
24:
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2:0
22:○(
で割った商で 2
24の倍数の個数は, 20 を24で割った商で
20 25 であるから, 2"(n≧5) の倍数はない。
よって、 素因数2の個数は、全部で
10+5+2+1=18(個)
したがって, 20!は2で18回割り切れる。
(2) 25! を計算したときの末尾に並ぶ0の個数は、25! を
|素因数分解したときの素因数5の個数に一致する。
1から25までの自然数のうち,
5の倍数の個数は 255で割った商で
5の倍数の個数は 25 52で割った商で
25 <5°であるから, 5" (n≧3) の倍数はない。
よって, 素因数5の個数は、全部で
5+1=6 (個)
したがって, 末尾には0が6個連続して並ぶ。
5
素因数2は2の倍数だけ
がもつ。
･･･10個
･5個
2個
1個
注意 1からnまでの整数
のうちんの倍数の個数は、
nをkで割った商に等し
い (n, kは自然数)。
1から25までの自然数
のうち2の倍数は 12個。
これと (*) から 指針
の理由がわかる。
(*) から, 25!= 10°k(kは
10の倍数でない整数)と表
される。
練習 (1) 30=30・29・28・3・2・1=2・3・5･19･23･29' のように,30! を素数の
116 現金のいしてましたしま
