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(重要) 40 次の条件によって定められる数列
頁を求め
(2) では
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重要 例題 40 f(n) an=bn とおく漸化式
次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。
(1)=1, an+1
an
(2) a1=2, na,+1=(n+1)an+1
n
n+1
●基本 21,29
CHART & THINKING
an+1,αの係数がnの式の問題では, an+1, an の係数がそれぞれ f(n+1), f(n) となる
ように式変形をする。
(1) 与えられた漸化式は, an の係数が 1
+ の係数が
1
n+1'
n
となっている。両辺に
n(n+1) を掛けることで
an+1
22
an
n+1
(n+1)an+1=nan
STEP
a₁ =
について,この
px2+x+r=
隣接3項間の
an
と変形できる。
この変形を基
an の係数がn, an+1 の係数が (n+1) となる。
(2)(1) と同じように, f(n+1)an+1=f(n)an+(nの式) の形にするには,両辺をどのよう
な式で割るとよいかを考えてみよう。
脱 an+2d
して,
よって
特性方程式
[1] 異なる
解答
a
(1) 両辺に n(n+1) を掛けると
(n+1)an+1=nan
a
bn=nan とおくと bn+1=bn
←bn+1=(n+1)an+1
また, b1=1.α=1から6m=bn-1=....
したがって bn=1
①より、
b1=1
a
bn 1
よって
an
n
n
②より
(2) 両辺を n(n+1) で割ると
an+1
an
1
+
a
n+1
n n(n+1)
←n(n+1)≠0
1
an
bn
とおくと
bn+1=bn+
n(n+1)
n
1
1
ゆえに
bn+1-bn
=
n
n+1
また b=q=2
PRACTICE 40°
次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。 ただし, (2)
an を利用して求めよ。
bn
n(n+1)
よって, n≧2 のとき
n
bn=b₁+ +(-1)-2+(1-1)-3-1
k=1 k
b=2であるから,この式は n=1のときにも成り立つ。
ゆえに bn=3-
m≧1)
n
よって an=nbn=3n-1
←数列{bn+1-bm} は, 数
列{bm} の階差数列。
α≠βであ
[2] 解
a=βであ
数列{an+
a0
a
④③から
← bn+1=
an+1
11
n+1
1
1
1
n(n+1) n
n+1
弘前大]
よって、
