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1 等差数列の最大 最小一
の第10項が37, 第 20項が -33 であるとき, 数列 {an}の初項は
コ項である.数列{an}の初項から第
(東京都市大)
(ア)等差数列 a1, a2, @3,
a= コであり, 項の値が負の数になる最初の項は第|
n項までの和を最大にする nは 口である。
(イ)初項が一35 であり, 第7項から第13項までの和が7である等差数列の公差は
また,この数列の初項から第n項までの和を Snとすると, IS,|が最小となるのはn= で
あり,そのとき|Snl=D|
コである。
(共立薬大)
である。
等差数列の和
(等差数列の和)=
(初項)+(末項)
(項数)で計算するのがオススメ.
2
図2
S,のグラフ
図1
Sn+1= S,+an+1 なので, 図1の
S5
ように as>0のとき S, は S4より大きく, as<0のとき Se は
S4
Ss より小さくなる.{a,}が等差数列で, 初項が正, 公差が
S,が最大となるとき
-S5
a6
- S6
S&
のe+1
SiQ
S3
n
koS+1
1
負であれば, anの符号が正から負に変わるところで, Snが
最大となる(図1). 数列のうち正の項ばかりを足せば, 和が
最大になるのは当然. S,の式を求めずとも, Smが最大とな
るnを求めることができる。
(IS,」の最小値の求め方
IS|の最小値の
候補
456
IS,」の最小値の候補は, S,の符号が変わる前後とIS.| (図 2).
三解答
(ア) 初項を a, 公差をdとすると,
合初項 a, 公差dの等差数列の第,
項は, an=a+(n-1)d
a10=a+9d=37 … ①
a20=a+19d=-33 ②
2-Dより,10d=-70
. d=-7. ①より, a=a=37-9d=100
一般項は, an=100+(n-1)·(-7)=107-7n
an<0 は, 107-7n<0
15.2…くn
負になる最初の項は第16項であり, それ以降すべて負である. 第15項までは やnミ15のとき an>0
加えるごとに増加するので和を最大にする nは, n=15 である。
(イ)公差をdとすると, 第7項から第13項までの7項の和が7だから,
ayta13
n216 のとき an<0なので,
1+ …<Si3< S4< S15> S16>Sp>.
7=7
2
. agta13=2
(-35+6d)+(135+12d)=2
-70+18d=2
d=4
総和は, S=
4t an
-35+{-35+4(n-1)}
- n=n(2n-37)
n=
2
2
右図より,最小値の候補は
IS.|=|-35|=35,
ISial=|18-(-1)|=18
ISigl=|19-1|=19
よって,ISIは, n=18のとき, 最小値18をとる.
49
S19
18
19
Sis
S=-35
リ=x(2c-37)
