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基本例題 87座標を利用した証明 (2)
△ABC の各辺の垂直二等分線は1点で交わることを証明せよ。
指針か.123 基本例題 74と同じように、計算がらくになる工夫をする。
座標の工夫
1 座標に0を多く含む
この例題では,各辺の垂直二等分線の方程式を利用するから、各辺の中点の座標に分
数が現れないように, A(2a,26), B(-2c, 0), C(2c, 0) と設定する。
三角形の外心の存在の,座標を利用した証明にあたる。
解答
∠Aを最大角としても一般性を失
わない。 このとき, ∠B <90°
∠C <90° である。
直線BC をx軸に、辺BCの垂直
二等分線をy軸にとり, △ABC
の頂点の座標を次のようにおく。
であるから,mo
.8302?
a+c
m=-
よって, 辺ABの垂直二等分線の方程式は
atc
y-b=-
(x-a+c)
Latc
b
B
-2c
a-c
A(2a, 2b), B(-2c, 0), C(2c, 0)
ただし
a≧0,b>0,c>0
また, ∠B<90° ∠C <90° から a=c, aキーc である。
更に、辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL, M, N とす
ると, L(0,0), M(a+c, b), N (a-c, 6) と表される。
辺ABの垂直二等分線の傾きをm とすると, 直線AB の
b
b
=-1より
a+c
a+c
傾きは
a+b2-c2
b
N
-x+
2 対称に点をとる
A(2a, 2b)
K
OL
M
C
2cx
すなわち
y=-
=x+
のである
辺 AC の垂直二等分線の方程式は,①でcの代わりに
a+b2-c2
-c とおいて
y= b
2
b
2直線①, ② の交点をKとすると, ①,②のy切片はと
a²+b2-c2
b
もに
であるから K(0,
K(0, a² + b²-c²)
点K は, y 軸すなわち辺BCの垂直二等分線上にあるから,
△ABCの各辺の垂直二等分線は1点で交わる。
・基本 74
注意 間違った座標設定
例えば, A(0, 6), B(c, 0),
C (-c, 0) では△ABC
は二等辺三角形で, 特別な
三角形しか表さない。
座標を設定するときは,
一般性を失わないように
しなければならない。
証明に直線の方程式を使
用するから, (分母) = 0
とならないように,この
条件を記している。
ad
vy
AME! (S)
0-26
-2c-2a
1111
de
点N (a-c, b) を通り,
傾き
a+c
b
の直線｡
154 80
b
a+c
辺ACの垂直二等分線
は,傾き
b
a-c
の直線
ACに垂直で,点
M (a+c, b) を通るから,
①でcの代わりに - c
とおくと、その方程式が
得られる。
