数IIの座標を利用した証明です。画像の四角で囲ってある部分で三角形の一般性の表記があるのですが、なぜこの表記が必要なのですか？角Aを最大角、角B, Cは90度以下と表記するだけではいけないですか？
基本例題 87座標を利用した証明 (2)
△ABC の各辺の垂直二等分線は1点で交わることを証明せよ。
指針か.123 基本例題 74と同じように、計算がらくになる工夫をする。
座標の工夫
1 座標に0を多く含む
この例題では,各辺の垂直二等分線の方程式を利用するから、各辺の中点の座標に分
数が現れないように, A(2a,26), B(-2c, 0), C(2c, 0) と設定する。
三角形の外心の存在の,座標を利用した証明にあたる。
解答
∠Aを最大角としても一般性を失
わない。 このとき, ∠B <90°
∠C <90° である。
直線BC をx軸に、辺BCの垂直
二等分線をy軸にとり, △ABC
の頂点の座標を次のようにおく。
であるから,mo
.8302?
a+c
m=-
よって, 辺ABの垂直二等分線の方程式は
atc
y-b=-
(x-a+c)
Latc
b
B
-2c
a-c
A(2a, 2b), B(-2c, 0), C(2c, 0)
ただし
a≧0,b>0,c>0
また, ∠B<90° ∠C <90° から a=c, aキーc である。
更に、辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL, M, N とす
ると, L(0,0), M(a+c, b), N (a-c, 6) と表される。
辺ABの垂直二等分線の傾きをm とすると, 直線AB の
b
b
=-1より
a+c
a+c
傾きは
a+b2-c2
b
N
-x+
2 対称に点をとる
A(2a, 2b)
K
OL
M
C
2cx
すなわち
y=-
=x+
のである
辺 AC の垂直二等分線の方程式は,①でcの代わりに
a+b2-c2
-c とおいて
y= b
2
b
2直線①, ② の交点をKとすると, ①,②のy切片はと
a²+b2-c2
b
もに
であるから K(0,
K(0, a² + b²-c²)
点K は, y 軸すなわち辺BCの垂直二等分線上にあるから,
△ABCの各辺の垂直二等分線は1点で交わる。
・基本 74
注意 間違った座標設定
例えば, A(0, 6), B(c, 0),
C (-c, 0) では△ABC
は二等辺三角形で, 特別な
三角形しか表さない。
座標を設定するときは,
一般性を失わないように
しなければならない。
証明に直線の方程式を使
用するから, (分母) = 0
とならないように,この
条件を記している。
ad
vy
AME! (S)
0-26
-2c-2a
1111
de
点N (a-c, b) を通り,
傾き
a+c
b
の直線｡
154 80
b
a+c
辺ACの垂直二等分線
は,傾き
b
a-c
の直線
ACに垂直で,点
M (a+c, b) を通るから,
①でcの代わりに - c
とおくと、その方程式が
得られる。
そういうことだったんですね！ありがとうございます！