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基本例題
191 最高位の数と一の位の数
126 は桁の整数である。 また、 その最高位の数は で,一の位の数
はである。 ただし, logio2=0.3010, 10g 103=0.4771 とする。
指針 (ア)(イ) 正の数Nの桁数は
logio N の整数部分,
最高位の数は log is N の小数部分に注目。
[慶応大]
基本188
1
なぜなら、Nの桁数をkとし, 最高位の数をα (α は整数 1≦a≦9) とすると
110400.0 (0がk-1個)から99.9(9が1個)まで。
logio (a101)10g10N<log10((a+1) ・10^-1}
k-1+logioa≦logioN <k-1+logio (a+1)
[→
各辺の常用対数をとる。
-10gio (a・10^-1)=10g0a+10g1010-
よって, 10g10 N の整数部分を小数部分をg とすると
p=k-1,
logio a sq<log10(a+1)
(ウ) 12' 122 123,
を計算してみて、一の位の数の規則性を見つける。
(ア)10g1012=60logio (223)=60(210g102+10g103)
=60(2×0.3010+0.4771)=64.746
4log 10 1260-60 log10 12,
12=22.3
解答
ゆえに
64<log10 1260<65
2
よって
1064 <1260 <1065
したがって,
1260 は 65 桁の整数である。
(イ) (ア)から
ここで
ゆえに
すなわち
よって
log101260-64+0.746
10g105=1-10g10 2
=1-0.3010=0.6990
log106=10g102+10g103 Retin
=0.3010+0.4771=0.7781
logo5 < 0.746 <log106
5<100.7466
5・10641064.7466・1064
すなわち 5.1064 <1260<6-1064
したがって, 126 の最高位の数は
(イ)の別解(ア) から
1260=1064.746=1064.100.745
10°<100.746 <102であるか
ら 100.746 の整数部分が
12 の最高位の数である。
ここで,
10g105=0.6990 から
100.69905
|10g 106=0.7781 から
100.7781=6
100.6990 <100.746<100.7781
から
(ウ) 12',122,12,12,125,
5
の一の位の数は,順に
5100.746 < 6
よって, 最高位の数は5
2, 4, 8, 6, 2,
......
12=2 (mod 10)である
となり, 4つの数 2, 4, 8, 6 を順に繰り返す。
60=4×15 であるから, 12% の一の位の数は
6
から 12" の一の位の
は、2" の一の位の数と
じ。
練習 自然数nが不等式 38 ≦10g108" <39 を満たすとする。 このとき,8"は
191 然数での値はn=である。 また, 8” の一の位の数は
で,最高
数は
logio2=0.3010, logio 3=0.4771,10g107=0.845
である。ただし,
関西
まだ不明な部分があれば聞いてください。