-
![]()
107 面積(IV)
mを実数とする.
放物線 y=x2-4.x +4 ...... ①, 直線 y=mx-m+2 ...... ②
について,次の問いに答えよ.
(1)②はmの値にかかわらず定点を通る. この点を求めよ.
(2) ①,②は異なる2点で交わることを示せ.
(3) ①,②の交点のx座標をα, B(α <β) とするとき ① ② で囲
まれた部分の面積Sをα, β で表せ.
(4)Sをmで表し, Sの最小値とそのときのmの値を求めよ.
精講
(1)37 ですでに学んでいます. 「mの値にかかわらず」 とくれば,
「式をmについて整理して恒等式」 と考えます.
(2) 放物線と直線の位置関係は判別式を利用して判断します.
(3)105ですでに学んでいますが,定積分の計算には100 (2) を使います.
(4) 21 (解と係数の関係) を利用します。
=-∫{x²-(m+4)x+m+2}dx
α, β は, 2-(m+4)x+m+2=0 の2解だから
S=-S(x-a)(x-B)dx=1/2(B-α)
注 紙面の都合で途中の計算は省略してありますが,100 (2) のようにき
ちんと書いてください.
(4) 解と係数の関係より, α+β=m+4,aβ=m+2
参考
∴.
.
(B-α)=(a+β)2-4aß= (m+4)2-4(m+2)
=m²+4m+8
s={(B-a)/2=1/2(m°+4m+8)/2
6
(*)
S=1/2(m+2)2+4)1/2よりm=-2のとき最小値 4.5 をとる.
3
(*)は, よく見ると(2)のDです. これは偶然ではありません。
ax2+bx+c=0 (a>0) 2解をα, β(α <β) とすると,
Q=
-b-√D
2a
B=
6+√D
2a
:. β-α=
-b+√D
2a
-b-√D VD
2a
a
解答
(1) ② より m(x-1)-(y-2)=0
<mについて整理
これがmの値にかかわらず成立するとき,
x-1=0, y-2=0
本間は α=1のときですから, (β-α)²=(√D)=D となるのは当然.
このことからわかるように, 2解の差は判別式を用いて表すことも
可能で,必ずしも, a+β, aβ から求める必要はありません.
よって, の値にかかわらず ②が通る点は, (12)
(2) ①,②より,yを消去して,
判別式をDとすると,
D=(m+4)2-4(m+2)
x2-4x+4=mx-m+2
.
2-(m+4)x+m+2=0
ポイント
f(x-α)(x-B) dz=-1/2 (B-α)
6
<D>0 を示せばよい
=m²+4m+8
=(m+2)2+4>0
よって, ①と②は異なる2点で交わる.
(3) 右図の色の部分がSを表すので
S=
6= f * {(mx−m+2)−(x²-4x+4)}dx
Y!
(2)
演習問題 107
O α1 2 BIC
y=4-x2 ...... ①, y=ax (a は実数) ...... ② について,次の
ものを求めよ.
(1) ① ② のグラフが異なる2点で交わるようなαの値の範囲
(2) ①,②のグラフで囲まれた部分の面積が10となるようなαの値
3
