第1問 (配点30)
[1] aを正の実数とする。 Oを原点とする 座標平面上に2点A(2,0),B(4,0)
と直線y=ar があり、直線上に動点Pをとる。
太郎さんと花子さんは,線分 AP と線分BPの長さの和が最小となるとき
の点Pの座標について話している。
太郎: Pの座標を(t, at) とおいて, AP BPをtを用いて表すと式が複
雑すぎて, 最小値を求めるのは大変そうだね。
花子: それじゃ, 幾何を利用して考えたらどうだろう。 点Bをに関し
て対称移動した点をCとすると, は線分BCの垂直二等分線だ
から, BP CP となるよね。 だから AP + CP が最小になるよう
な点Pが求めるべき点になるよ。
太郎 ということは, AP + BP が最小になるような点Pは3点A, P,
Cが一直線上にあるとき,すなわちと直線ACの交点Qのとき
だね。
花子: 求め方はわかったけれど, 点CやQの座標を求めるのにはどうし
たらいいのかな。
太郎:Cの座標を(p, g) とおいて, p, g の連立方程式を立ててみよう。
花子: <POB=0とおき, tan0 を用いて点Cの座標を求めることもで
きるね。
(数学ⅡⅠ・数学B 第1問は次ページに続く。)
/p+4
(P+4)
(1) 点Bをに関して対称移動した点をCとする。
(i) Cの座標を(p, g) とおくと, ℓ1 BCであることから
√p²q² = 4
[P²-9²-16)
ap+4a-90-
が成り立ち 分 BCの中点が上にあることから
が成り立つ。
ア
(3
6
1
ア <=0
である。
イ = 0
(ii) ∠POB=0 とおくと, tan0 =
エ 5 sine=
p+aq +4
(0 p+a-4
p-aq-4
ap + q + 4a
ap - g+4a ⑦ ap-g4a
cos0=
イ
+9²
1 + a²
(i) または (i) より, 点Cの座標は
キ
9-0
P-4
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)|
①
(5)
a
1
+ a²
ウ
Sa
1 + a²
オ
6
Ha
であり
16 4√Ha₂²
さらに, OBOC, ∠BOC = 20 であることから, Cの座標を求めるこ
とができる。
カ
1
a
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい｡)
50
0
(2
P - aq +4
⑤ ap+q-4a
(pia)
4
V1+α²
4(1-a²
1 + a²
140
B
である。
P-4
1
1 + a²
y
4
Q
+4²
X
diy=ax
\Q
A(20)
•
x=-1
aq--P+4
aq+p-4.0
4
B(40)
x
16+160² = x²
X 16+16a²
.
=√16(H+a²)
- 4√√H+a²
