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第5章 微分法
基礎問
69 増減・極値 (I)
f(x)=-x+α(x-2)2 (a>0) について, 次の問いに答えよ。
(1) f(x)が極小値をもつようなαの値の範囲を求めよ。
(2) (1)のとき極小値を与えるxを とすれば, 2<x<3 が成りたつこ
精講
とを示せ
4次関数の微分は,技術的には,数学Ⅱの微分の考え方と差はあり
ません。
(1) 4次関数 (x^ の係数 <0) が極小値をも
つとはどういうことでしょうか?
とりあえず、f'(x)=0 をみたすx が存在しないと
いけませんが,y=f(x) のグラフを想像すると右図
のような形が題意に適するようです.
極大 -
極大 -
N
平
X1
-極小
ということは,極大値を2つもつ必要もありそうです. このことから、次
のことがいえそうです.
f'(x) = 0 が異なる3つの実数解をもつ実
ⅡB ベク
(2)=x1 はf'(x) = 0 の3つの解を小さい順に並べたときの中央の値にな
りますが, 方程式の解が特定の範囲に存在することを示すとき, グラフを利
用します. (I・A46解の配置)
解答
(1) f'(x)=-4°+2a(x-2)=g(x) とおく.
かたむき
f(x)が極小値をもつとき, g(x)=0 は異なる3つの実数解をもつ。
g'(x)=-12x2+2a=0 を解くと
一
a
x=±
(a>0より) aia (12)\ (1)
g(x)において,(極大値)(極小値) <0であればよいので
4a
3V 6
a
4a
-4a
-4a
3V 6