練習 次の数列が収束するように,実数xの値の範囲を定めよ。 また, そのときの数列の極限値を求め
よ。
②94
(1)
(1) 収束するための条件は -1</1/23x1
x≦1
3
これを解いて
2
2
-x=1 となるのは,x=
また,Aで
(2) {(x2-4x)"}
3
2
<x≤.
よって
x2-4x≦1から x2-4x-1≦0
数列の極限値は
(2) 収束するための条件は -1<x²-4x≦1
-1<x²-4x から
x ²-4x+1>0
x2-4x+1=0の解は x=2±√3
x<2-√3, 2+√3 <x
よって
3
3
012/21<x<12/2のとき0.x=12/2のとき
A
掛けて
-(x2-x+2)<x2+2x-5から
ゆえに (2x+3)(x-1)>0
13
x-
......
HINT 数列{rn} の収束
条件は -1<r≦1
また,極限値は
8) mil=>-1<r<15 0₂
のときであるからなら1②
x2-4x-1=0の解は x=2±√5
よって
2-√5 ≦x≦2+√5
2
ゆえに,収束するときの実数xの値の範囲は, ① かつ② から
02-√5 ≦x<2-√3, 2+√3<x≦2+√5
(3) {(x²-x+2
また、Aでx2-4x=1 となるのは、x=2±√5のときであるか
ら、 数列の極限値は
映画 2-√5<x<2-√3, 2+√3 <x<2+√5のとき0;
x=2±√5のとき1
(3) 収束するための条件は-1<x+2
3, 1<x
2'
x2+2x-5\"
x-x+2=(x-1/12 ) 2+1/17/>0であるから、各辺にポーx+2 を
-(x²-x+2)<x²+2x-55x²-x+2+1 mil
(
x2+2x-5 ≤1..... (A)
x2+2x-5≦x2-x+2から 3x≦7 よってx≦-
7
AT D
←-1<x<1のときと
r=1のときで数列{r"}
の極限値が異なることに
注意。
(2)
TER
ae
2-√5 2-√3
x=0の場合
考えなくて♪
2+√3 2+√5
2x2+x-30 ことになるから,不等号
の向きは変わらない。
MAA
←各辺に正の数を掛ける
4i
練
MJ
