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11 不等式への応用
αを定数とする3次関数
f(x)=x-3(a+2)x2+9(2a+1)x-242-24a+1
がある.このとき, 次の問いに答えよ.
(1) f(1)≧0となるαの範囲を求めよ.
(2)1であるすべてのェについてf(x) ≧0となるαの範囲を求めよ.
(関西大 総合情報)
常にん(x)≧0となる条件 f(x)≧g(z)を示すには,まず左辺に集めて,f(z)-g(エ) ≧0とする。
そののち,h(x)=f(x) -g (z) とおいて, h(x)≧0を示すことを目標にする.さらにここで,
h(x)≧0
[h(x)の最小値] ≧0
という言い換えを用いる.これは,h(x)の最小値をとすれば,h(x)≧m≧0となるからである。
なお,h(x)が最小値を持たないときでも,h(x)>m^≧0となるようなm' を探せばよい(注)。
解答言
(1) f(1)=1-3(a+2)+9(2a+1)-242-24a+1=-242-9a+50より,
2a²+9a-5≤0
1
-5≤as
(2a-1)(a+5)≤0
(2) 問題 (1) ≧0は成り立つので、①の条件のもとで考える.
f'(x)=32-6(a+2)x+9(2a+1)=3{z2-2(a+2)x+3(2a+1)}
=3(x-3){z-(2a+1)}
←
2a2+9a-5
✓
①のもとで,2a+1 <3だから, y=f(x) のグラフ
は右図のようになる. f(x) は, x≧1の範囲で, x=1
かx=3のとき最小値をとる.
y=f(x)|
f (1) ≧0 かつ (3)≧0
となるαを求めればよいが,①のもとで考えている
@X
ので,f(1) ≧0は成り立ち, f (3) ≧ 0 のみを考えれば
よい.
2a2-3a-1
2a+1
3
f(3) =27-27(a+2)+27(2a+1)-22-24a+1=-2a2+3a+1≧0より
2a2-3a-1≦0
..
3-√17
4
·≤as.
3+√17
4
3-√17
これと①より,
4
→注もしも上の関数で 「①のもとで, x>3であるすべてのæについて
f(x)>0 となるαの範囲を求めよ」 という設問であれば,x>3で,
f(x) >f (3) が成立するので, f (3) ≧0が条件となる. ただし, x>3では,
の値をx=3に取ることができないので, f (3) は最小値ではない.
このf (3) が前文のm' の例になっている.
a
242-34-1=0を解くと
3±√32+4・2 3/17
a=
2-2
4
x>3のとき,f(x)>f(3) 20
(条件は, f (3) > 0 ではなく,
f(3) ≧0であることに注意)
