Question

はさみ

⑵の最初の1行について質問です。
「問題のときf(1)≧0が成り立つ」は分かりますが、「だから①の条件のもとで考える」は分かりません。
x=1の場合のaの範囲をx≧1の場合に使えるのがピンときません。
もしかして、x≧1の場合のaの範囲は、少なくともx=1の場合のaの範囲に含まれるということですか？(必要条件から考えるということ？)

11 不等式への応用
αを定数とする3次関数
f(x)=x-3(a+2)x2+9(2a+1)x-242-24a+1
がある.このとき, 次の問いに答えよ.
(1) f(1)≧0となるαの範囲を求めよ.
(2)1であるすべてのェについてf(x) ≧0となるαの範囲を求めよ.
(関西大 総合情報)
常にん(x)≧0となる条件 f(x)≧g(z)を示すには,まず左辺に集めて,f(z)-g(エ) ≧0とする。
そののち,h(x)=f(x) -g (z) とおいて, h(x)≧0を示すことを目標にする.さらにここで,
h(x)≧0
[h(x)の最小値] ≧0
という言い換えを用いる.これは,h(x)の最小値をとすれば,h(x)≧m≧0となるからである。
なお,h(x)が最小値を持たないときでも,h(x)>m^≧0となるようなm' を探せばよい(注)。
解答言
(1) f(1)=1-3(a+2)+9(2a+1)-242-24a+1=-242-9a+50より,
2a²+9a-5≤0
1
-5≤as
(2a-1)(a+5)≤0
(2) 問題 (1) ≧0は成り立つので、①の条件のもとで考える.
f'(x)=32-6(a+2)x+9(2a+1)=3{z2-2(a+2)x+3(2a+1)}
=3(x-3){z-(2a+1)}
←
2a2+9a-5
✓
①のもとで,2a+1 <3だから, y=f(x) のグラフ
は右図のようになる. f(x) は, x≧1の範囲で, x=1
かx=3のとき最小値をとる.
y=f(x)|
f (1) ≧0 かつ (3)≧0
となるαを求めればよいが,①のもとで考えている
@X
ので,f(1) ≧0は成り立ち, f (3) ≧ 0 のみを考えれば
よい.
2a2-3a-1
2a+1
3
f(3) =27-27(a+2)+27(2a+1)-22-24a+1=-2a2+3a+1≧0より
2a2-3a-1≦0
..
3-√17
4
·≤as.
3+√17
4
3-√17
これと①より,
4
→注もしも上の関数で 「①のもとで, x>3であるすべてのæについて
f(x)>0 となるαの範囲を求めよ」 という設問であれば,x>3で,
f(x) >f (3) が成立するので, f (3) ≧0が条件となる. ただし, x>3では,
の値をx=3に取ることができないので, f (3) は最小値ではない.
このf (3) が前文のm' の例になっている.
a
242-34-1=0を解くと
3±√32+4・2 3/17
a=
2-2
4
x>3のとき,f(x)>f(3) 20
(条件は, f (3) > 0 ではなく,
f(3) ≧0であることに注意)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

まったくその通りです
「x≧1を満たすすべてのxに対してf(x)≧0」……★
ということは、
少なくとも「x=1のときf(x)≧0」……⚪︎ でなくてはならない
ということです
x=1のときf(x)≧0でなかったら、
もうその時点で★は成り立ちません

だから、⚪︎、つまり-5≦a≦1/2に
とりあえず絞ってよいということです
aがこれ以外だと⚪︎は成り立たず、
つまりは★も成り立ちませんので…

-5≦a≦1/2で考えればよいのに、
すべての実数aの範囲という広い範囲で
うろうろするのは無駄ということですね

そして、-5≦a≦1/2から、さらに絞って
★の必要十分な条件を求めよう、ということです

はさみ

またご回答して頂きありがとうございます！
広い範囲でうろうろするのは無駄というのが凄く分かりやすいです！