Question

ひなこ

(2)の問題で、マーカーを引いてるところの、等号は2のx乗🟰2の－x乗、すなわちx🟰－xからx🟰0の解説の部分がどうしてそうなるのかがよく分かりません。
なぜここで相加平均、相乗平均を使うのかも教えていただきたいです

281
大]
10≥0
72, 173
その
る。
基本 例題 175 指数関数の最大・最小
Q (1) 関数y=4x+1-2x+2+2 (x≦2) の最大値と最小値を求めよ。
00000
基本 173
(2) 関数 y=6(2x+2x)-2(4*+4 ) について, 2'+2x=t とおくとき, yをt
を用いて表せ。 また, yの最大値を求めよ。
指針
(1)おき換えを利用。 2*t とおくと, yはtの2次式になるから
2次式は基本形 α(tp)+αに直す 解決!
なお、変数のおき換えは,そのとりうる値の範囲に要注意。
(2) まず,X2+Y'= (X+Y)'-2XY を利用して, 4+4 をtで表す。
y を tで表すと, tの2次式になる。 なお, t = 2x + 2 の範囲を調べるには,2*>0,
20に対し, 積 2*2=1 (一定) であるから, (相加平均) ≧ (相乗平均) が利用で
きる。
x≦2であるから 0<t≦22
Apsq 2≤2"
(1) 2* =t とおくと t>0
解答
したがって
0<t≦4
y を tの式で表すと
......
①
201
+1
YA
50
最大
y=4(2*)2-4・2*+2=4t2-4t+2=4t-
① の範囲において, y は t=4で最大, t=
1 で最小とな
2
る。 t=4のとき
2x=4
ゆえに x=2
1=1/2のとき
1
2=-
ゆえに
x=-1
2
2
(1/21)
0 最小 4
t
よってx=2のとき最大値50, x=-1のとき最小値1
(2) 4'+4x=(2x)+(2-x)=(2x+2-x)2-2・2*・2x=-22・2x=2°=1
ゆえに y=6t-2(t2-2)=-2t2+6t+4
5
5章
指数関数
20, 2-0 であるから, (相加平均) ≧ (相乗平均)よ
相加平均と相乗平均の関係
り (*)2x+2x≧2√2*2=2 すなわち t≧2 ･･･ ②
ここで,等号は2=2, すな
a>0, 6>0のとき
12a+b
√√ab
わち x=-xからx=0のとき
2
y
17
成り立つ。
72
8
①からy=-2(t
32
最大 (等号はa=bのとき成
り立つ。)
17
+
gur
2
4
M
② の範囲において, yはt=2
t=2となるのは, (*)で
のとき最大値8をとる。
O
32
よってx=0のとき最大値8
t
等号が成り立つときであ
る。
2
176
log
Ma
"M.pol
練習 (1) 次の関数の最大値と最小値を求めよ。
[(イ)大阪産大]
③ 175
(ア) y=(2) (1≦x≦2)
(イ) y=4*-2x+2 -1≦x≦3)
(2) a0a≠1 とする。 関数 y=q2x+α-2x-2(a^+α_x)+2について,
*+α x=t とおく。 y を を用いて表し, yの最小値を求めよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

🍇こつぶ🐡

2^x＞0、2^-x＞0がポイント。どちらも正。
この場合、a+b≧2√abを使うことは良くあり、
今回はabをすると約分でab＝√1＝1になるため根号が外れる。だから使ってます。

■のx乗➕■の－x乗で相加相乗平均を使い、置き換えしたtの範囲を決めて最大値(または最小値)を求めるパターンはよくあります🙇

ひなこ

x＝－x(から)x＝0というのはどういうことなんでしょう、、？

🍇こつぶ🐡

x＝-xを解くと、右辺の-xを左辺に移項し、
2x＝0➡️x＝0ということ🙇

ひなこ

なるほど！理解できました！

Answer 2

きらうる

問題文冒頭で、
2ˣ+2⁻ˣ＝t
と置きましたね。
この時点で、xが実数であるため、tには範囲が存在します。
その範囲をもとめるため、相加相乗平均を使います。
なぜ、相加相乗平均なのか。
相加相乗平均を使うときは、
・最大最小に関する問題で
・足し算の形であること
・逆数同士の足し算
このようなときに使います。

1つ目の疑問は
相加相乗平均の等号成立条件ですね。
等号成立条件は、
2ˣ＝2⁻ˣ　のときです。
底が同じなので、指数の部分が同じにならないと＝は成り立ちません。だから、
x＝‐x　となり、移項して、
2x＝0　→　x＝0　となります。

また別の方法では…
この式の両方に　2ˣ　をかけると、
(2ˣ)²＝1
→　(2²)ˣ＝1
→　4ˣ＝1
→　x＝0
と求めることもできます。